力率改善コンデンサの問題

(1)さんが正解を出されていますのが、質問者のお礼の中で公式があるかの問いに対し感じたことは、問題に対して公式に数値を入れて計算すれば良いということでは無いと思います。
この問題では力率、有効電力、無効電力の関係を理解しておく必要があると
思います。（この辺を説明したURLがありましたので参考にして下さい）
そうすれば、ｃｏｓθ＝0.8の時ｓｉｎθ＝0.6になることはすぐ分かります。
（URLの図３を参照）このような問題ではベクトルに書いて見てれば良いと
思います。私がこの問題を考えるなら、ベクトル図を書く事が公式です。
この問題で力率が変わっても有効電力が変わらないことに注意する必要が
あると思います。私は皮相電力が変わらないと考えていましたが（元の回路のみでは変わらないと思うが、力率改善の結果トータルの回路と考えると皮相電力が変わってくる）、(1)さんの回答でスッキリしました。

８００ｋＷで力率０．８だから皮相容量は，
　　　８００÷０．８＝１０００ｋＶＡ
この負荷の発生する無効電力は，
　　　ｃｏｓθ＝０．８　から　ｓｉｎθ＝０．６　なので
　　　１０００×－０．６＝－６００ｋＶａｒ
ここに２００ｋＶａｒの力率改善コンデンサを接続するので
コンデンサ接続後の無効電力は
　　　－６００＋２００＝－４００ｋＶａｒ
従って，皮相容量は
　　　（－４００＾２＋８００＾２）＾0.5＝８９４．４ｋＶＡ
求める力率は
　　　　８００ｋＷ÷８９４．４ｋＶＡ＝　０．８９４４

３０年も昔に勉強したことなので，間違っていたらご勘弁を

先に書いたことは，問題集などの回答例に書いてあると思います。
理解できないところ（一気に２，３歩先へジャンプしているように感じるところ）があったら，お知らせください。
なお，答えだけを求める試験であれば，計算式の書き方はどうでも良いのですが，回答の過程も採点に加味されるような試験の場合は，正しい数学記号で式を書いた方が宜しいかと思います。（２乗とかルートの表記ほか）

ご質問の順と異なりますが，まずは”＾”の記号について
＾２として２乗を表す”お約束”です。
正しい数学記号の２乗は，右肩に小さな２を書くことが必要ですが，通常のキーボードから入力するテキスト文書では，正しく表記できないですよね。このために,便宜的に＾２と書いています。という訳で，記述式の答案には＾２を使わないで，正しく２乗を書きましょう。

続いて，＾０．５について
＾２が２乗を表すのと同じ意味で，＾０．５は０．５乗を表しています。０．５乗とは，１／２乗＝平方根　つまりはルート”√”のことです。テキスト文書に全角文字を使えば√記号単体では入力できますが，√の中身を記入できません。＾２を使ったついでに，＾０．５も使わせてもらいました。

最後に，ｓｉｎとｃｏｓの関係
（ｓｉｎθ）＾２＋（ｃｏｓθ）＾２＝１の関係があることを思い出してください。
（ｓｉｎθ）＾２＝１－（ｃｏｓθ）＾２＝１－０．８＾２＝１－０．６４＝０．３６
ｓｉｎθ＝０．３６＾０．５＝０．６
電卓がなくても簡単に計算できて，細かい端数がでないように配慮してあるサービス問題です。