弾性エネルギ

Question

材料力学を学んでいる初心者です。よろしくお願いします。

直径１０?、長さ１ｍのバネ鋼が５０ｋＮの引っ張り荷重を受けています。このバネ鋼に蓄えられている弾性エネルギを教えてください。
バネ鋼の弾性係数をＥ＝２０６ＧＰａとする。

上記問題の、引張応力σと弾性エネルギＵを教えてください。

なにぶん初心者ですのでよろしくお願いします。

Accepted Answer

引張り荷重をP、棒の断面積をAとすると、引張応力σは次のように表すことができます。
σ＝P／A
いま、P＝50kN＝50000N、A＝π×10^2／4≒78.5mm^2ですから、引張応力は
σ≒50000／78.5≒637 N/mm^2＝637 MPa
となります。
棒の長さをL、材料の縦弾性係数をEとすると、弾性エネルギUは次のように表されます。
U＝P^2×L／（2×E×A）
各数値を上式に代入すると、弾性エネルギは
U≒77.3 N･m
となります。

Answer

計算式は、他の回答者さんに任せます。
さて、エネルギーは、力×距離で求まります。
すると、直径10?×長さ1mのバネ鋼が50kNの引張り荷重を受けているの
なら、0kNの時何?縮むかを求めますと、エネルギーは求まります。
先ず、フックの法則で σ＝E×εとなるので、
σ；引張応力（N/mm2）、E；縦弾性係数（N/mm2）、ε；ひずみ
σ＝50kN÷（π/4×10mm×10mm）＝0.637kN/mm2＝637N/mm2、
E＝206GPa＝206×10^9Pa＝206×10^9N/m2＝206×10^3N/mm2、
ε＝λmm（伸び）÷Lmm（長さ）＝λmm÷1000mmなら、
637N/mm2＝206×10^3N/mm2×（λmm÷1000mm）
λmm＝637N/mm2÷206×10^3N/mm2×1000mm＝3.09mmとなります。
因って、50kN×3.09mm＝154.5kN･mm＝154.5N･mとなりますが、
伸びが3.09mmの時に50kNですが、伸びが0mmの時には0kNです。
故に、エネルギーは、力×距離の長方形面積を求めるのではなく、
力×距離の三角形面積を求める事になり、
1/2×50kN×3.09mm＝77.3kN･mm＝77.3N･mとなります。
これが積分を使用しないやり方です。（三角形が積分ですけど…）

回答（２）の カズチャン さんと、結果が同じになりホットしています。

Answer

力学的な仕事は、力と動いた距離の積分ですよね。
式で表すと、Ｗ＝∫ｆ(x) dxです。

棒の長さ、断面積、引張荷重が判っているのですから、どれだけ棒が伸びた
かは簡単に計算できると思います。

伸びと引張り力はフックの法則で比例すると考え、伸び（動いた距離）ｘと
力の関係を式（ｆ(x)）で表してください。

あとは、０～50kNかかったときの伸びの値まで定積分を実行するだけです。

バネ鋼の弾性エネルギと引張応力