薄板ばねのたわみ計算について

Question

薄板ばねのたわみ計算について、わからない点があります。

ばねの構造は「片持ち梁」で、固定端から自由端の方向にむかって距離Lの点で集中荷重を受けます。

ばねの板厚は一定（２００μｍ程度）です。但し、固定端と荷重を受ける点でばねの幅が異なります（凸の形状で、幅が広い方が固定端、狭い方が荷重をうける部分となります）。

このとき、集中荷重を受ける点から固定端までの任意の点(x)での、たわみ量を計算したいのですが、ばねの幅が一定でないためどうやって求めるのか悩んでおります。

そのため、計算出来る式があれば教えて下さい。御教授のほど宜しくお願いします。

Accepted Answer

梁の幅が変化する凸形とありますが具体的な形状がわからないので、ここでは仮に台形とします。
長い辺が片持ち梁の固定側、短い辺の中点に荷重Ｗが作用するものとします。（下図）

（上から見た図；　対称形の半分を記載。荷重は紙面の上から下に向かって作用）　　
　　　
　　　　 　  　     　/ |   ↑
　　　　  　     　/    |   |
　　　　　    　/       |   |
　　　 　    /          |   |
　　　    /             |  b0/2
 　↑    |              |   |
 β･b0/2  |              |   |
   ↓    |              |   ↓
-------  ●荷重Ｗ --- ･ ---------- ･ -----→ x 
　　　　 ↑　 　　　　　↑
　　　　x=0　　　　　　固定(x=L)

梁の縦弾性率E、梁の厚さh=200μm（一定）、梁の長さL、長辺の長さb0、短辺の長さβ･b0（0<β<1）、梁の長手方向をx軸にとると、
　梁の幅　b(x)=b0(1-β)x/L+β･b0　、
　断面二次モーメント　I(x)=b(x)h^3/12
　たわみの式　d2y/d2x=M(x)/EI(x)=12Wx/(E･b(x)h^3)
　境界条件　　x=Lで　dy/dx=0　かつ　y=0
を使って、梁の任意の場所xでの たわみ y(x) を計算すると、（途中の式の展開はスペースの都合上省略します）
　　　      　6W･L^3
　y(x) = -----------------［(x/L-1)^2 + 2β(x/L-1)/(1-β) - 2β{(1-β)x/L+β}log{(1-β)x/L+β}/(1-β)^2］
　　　　  E･b0･h^3･(1-β)

最大のたわみは荷重点（x=0）で発生しその値は、
　　　      　6W･L^3
　y(0) = ------------------［ 1 - 2β/(1-β) - 2β^2･logβ/(1-β)^2 ］
　　　　  E･b0･h^3･(1-β)

6W･L^3
　     = ---------------------［ 1 - 4β + 3β^2 - 2β^2･logβ ］　
　　　　　  E･b0･h^3･(1-β)^3

で計算できます。（log は自然対数です。）

今回は台形（幅が直線的に変化するという単純な形）を仮定しても少し複雑な計算式となります。
これが２次曲線などの曲線形状になるとさらに複雑な式となります。

下記の文献を参考にしました。

■文献
大学演習「材料力学」（第41版；1991年）；P136　例題１
材料力学編集会編　発行：裳華房

以上

おっしゃるように、幅の違う部分で場合分けして計算すれば式が算出できます。
0≦x≦L1（区間１）　と　 L1＜x≦L2（区間２）　でそれぞれ たわみの式
　d2y/dx2=-M/EI、M=-Wx
を立てて、この式を積分して たわみ y(x) を計算してやれば良いです。

条件?　問題の形状では区間１の幅が区間２の1/2ですので、断面二次モーメントは
　　　　領域１で　I1=bh^3/24、　　領域２で　I2=bh^3/12　（I2/I1=2）
条件?　x=L1でのたわみ y(L1)　と　たわみ角 dy/dx(L1)　が領域１，２で連続、
条件?　x=L2でのたわみ y(L2)　と　たわみ角 dy/dx(L2)　がゼロ、

条件?～?を使えば、最終的には次の式で たわみy(x) が計算できます。

0≦x≦L1
　　　　　2W
　y(x)=------ [ 2x^3 - 3(L1^2 + L2^2)x + 2(L1^3 + L2^3)]
　　　　Ebh^3

L1＜x≦L2
　　　　　2W
　y(x)=------ ( x + 2L2 ) * ( x - L2 )^2
　　　　Ebh^3

たわみの最大値は当然、荷重点x=0で生じ、その値は、
　　　　　4W
　y(0)=------ (L1^3 + L2^3)
　　　　Ebh^3
となります。

Answer

既に回答が出ていますので，ほんの付け足し程度の情報ですが，
私ならば，知っている式と「表計算」を使って求めます。

・長さ方向を５区間に分割する（各区間の幅は一定と考える）
・片持ち梁なので，各区間に加わる曲げモーメントは単純に計算できる
・各区間毎に，曲げモーメントと幅と厚さから，応力を計算する
・応力による変形と，その区間から先の梁の長さから，各区間毎の
　自由端側のたわみ量の寄与分が計算できる
・各区間毎のたわみ寄与分を合計すれば総合したたわみ量が計算できる

・仮に，幅が一定の条件を代入して，知っている式の結果と同じ数値が
　得られるか検算する
・所要の精度が得られるまで，最初に決めた分割数を増やす
・所要の幅の条件に戻してたわみ計算する

このような手順をとれば，変断面であっても，荷重分布が複雑であっても
所要の答えを得ることができます。

「公式」の形は知らなくても，基本だけで答えは出せます。小区間に分割し
て積算し分割数を増やして精度を上げていく方法は，「積分」の考え方その
ものです。

Answer

専門書（機械設計、材料力学、等）を確認する事が一番の近道です。
さて、参考になるURLを添付しておきますが、この内容は一定の
専門知識が無いと？？です。

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