薄板ばねのたわみ計算について

梁の幅が変化する凸形とありますが具体的な形状がわからないので、ここでは仮に台形とします。
長い辺が片持ち梁の固定側、短い辺の中点に荷重Ｗが作用するものとします。（下図）

（上から見た図；　対称形の半分を記載。荷重は紙面の上から下に向かって作用）　　
　　　
　　　　 　 　 　/ | ↑
　　　　 　 　/ | |
　　　　　 　/ | |
　　　 　 / | |
　　　 / | b0/2
　↑ | | |
β･b0/2 | | |
↓ | | ↓
------- ●荷重Ｗ --- ･ ---------- ･ -----→ x
　　　　 ↑　 　　　　　↑
　　　　x=0　　　　　　固定(x=L)

梁の縦弾性率E、梁の厚さh=200μm（一定）、梁の長さL、長辺の長さb0、短辺の長さβ･b0（0<β<1）、梁の長手方向をx軸にとると、
　梁の幅　b(x)=b0(1-β)x/L+β･b0　、
　断面二次モーメント　I(x)=b(x)h^3/12
　たわみの式　d2y/d2x=M(x)/EI(x)=12Wx/(E･b(x)h^3)
　境界条件　　x=Lで　dy/dx=0　かつ　y=0
を使って、梁の任意の場所xでの たわみ y(x) を計算すると、（途中の式の展開はスペースの都合上省略します）
　　　 　6W･L^3
　y(x) = -----------------［(x/L-1)^2 + 2β(x/L-1)/(1-β) - 2β{(1-β)x/L+β}log{(1-β)x/L+β}/(1-β)^2］
　　　　 E･b0･h^3･(1-β)　　

最大のたわみは荷重点（x=0）で発生しその値は、
　　　 　6W･L^3
　y(0) = ------------------［ 1 - 2β/(1-β) - 2β^2･logβ/(1-β)^2 ］
　　　　 E･b0･h^3･(1-β)

　　　 　6W･L^3
　 = ---------------------［ 1 - 4β + 3β^2 - 2β^2･logβ ］　
　　　　　 E･b0･h^3･(1-β)^3

で計算できます。（log は自然対数です。）

今回は台形（幅が直線的に変化するという単純な形）を仮定しても少し複雑な計算式となります。
これが２次曲線などの曲線形状になるとさらに複雑な式となります。

下記の文献を参考にしました。

■文献
大学演習「材料力学」（第41版；1991年）；P136　例題１
材料力学編集会編　発行：裳華房

以上

おっしゃるように、幅の違う部分で場合分けして計算すれば式が算出できます。
0≦x≦L1（区間１）　と　 L1＜x≦L2（区間２）　でそれぞれ たわみの式
　d2y/dx2=-M/EI、M=-Wx
を立てて、この式を積分して たわみ y(x) を計算してやれば良いです。

条件?　問題の形状では区間１の幅が区間２の1/2ですので、断面二次モーメントは
　　　　領域１で　I1=bh^3/24、　　領域２で　I2=bh^3/12　（I2/I1=2）
条件?　x=L1でのたわみ y(L1)　と　たわみ角 dy/dx(L1)　が領域１，２で連続、
条件?　x=L2でのたわみ y(L2)　と　たわみ角 dy/dx(L2)　がゼロ、

条件?～?を使えば、最終的には次の式で たわみy(x) が計算できます。

0≦x≦L1
　　　　　2W
　y(x)=------ [ 2x^3 - 3(L1^2 + L2^2)x + 2(L1^3 + L2^3)]
　　　　Ebh^3

L1＜x≦L2
　　　　　2W
　y(x)=------ ( x + 2L2 ) * ( x - L2 )^2
　　　　Ebh^3

たわみの最大値は当然、荷重点x=0で生じ、その値は、
　　　　　4W
　y(0)=------ (L1^3 + L2^3)
　　　　Ebh^3
となります。

お礼

2009/05/19 01:07

ありがとうございました。
おかげさまで設計も滞りなく出来ました。
またよろしくお願いします。

質問者

補足

2009/05/08 19:57

質問文がわかりにくいにもかかわらず、大変丁寧な回答ありがとうございました。

今回検討しているのは下記のような形状です。
（記載された図をモディファイしてるのはご了承ください）

（上から見た図；　対称形の半分を記載。荷重は紙面の上から下に向かって作用）　　
　　　
　　　　 　 　 ----- ↑
　　　　 　 | | |
　　　　　 　 | | |
　　　 　 | | |
　　　 --------| | b/2
　↑ | | |
　b/4 | | |
↓ | | ↓
------- ●荷重Ｗ --- ･ ---------- ･ -----→ x
　　　　 ↑　 　　↑　　↑
　　　　x=0　　　x=L1　　固定(x=L2)

ばねの全幅をb(x)とすると、下記のような状態です。梁の長手方向をx軸としてます。
(1) 0≦x≦L1 b(x)=b/2
(2) L1＜x≦L2 b(x)=b
上記の図では、幅方向に半分だけ記載しているので、b(x)の値は半分ずつになります。

任意の位置xにおけるb(x)がパルス的な変化をするため
幅の違う部分で条件分けして計算すればできるかなと式算出を
トライしてますが、現状、まだ解が出ておりません。

x=L1の点でどう考えるべきかがポイントかなとも思ってますが
考え方が間違っていたらご教授いただければ幸いです。

質問者