ねじり角の計算方法と断面２次極モーメントについて

質問者さんへ 、
１Ｎの涙 さんの解析で、計算してください。
解析ソフトを猿の如く操作してね lol。

さて、計算をミスしていました。
転倒モーメントは {0.8m/2＋1m}×15kN＝21KN･m で、中心距離0.6mから 21KN･m÷{0.6m/2}÷4
＝1.75kNが角パイプに加わる。
　　　　　　　　　　　　　↓ 訂正
転倒モーメントは {0.8m/2＋1m}×15kN＝21KN･m で、中心距離0.6mから 21KN･m÷{0.6m/2}÷4
＝17.5kNが角パイプに加わる。　　　　17.5kNですから、(17.5kN／2)加わるです。


また、本来の回転又は転倒モーメントと各組子が受ける力の解析も、(17.5kN／2)が掛かるなら、
簡易的な計算方法では無理です。

　　　　　　　　　　　　　　　→│ 0.8m/2＋1m │←
　　　　　　　 　＿　　　　　　│　　　　　　↓
　　　　　　　　　|　　　　　回＝＝回　　　　 15kN　
　　　　　　　　0.8m 　　　　||　　||
　　　　　　　　　|　　　　　回＝＝回　　　　　　　　　
　　　　　　　　　￣　　　　 ▽　　▽
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　|-0.8m-|　　　　　　　条件なら、

右の 回 には、モーメントの釣り合い計算から、{0.8m/2＋1m}×15kN＝21kN･m となり、
　　 || 　　　21KN･m＝0.6m×Ｆa計算から、Ｆa＝35KNが上から加わり、圧縮荷重が加わります。
　　 回 　　　それがピッチ1000mmの２箇所に作用するので、35KN／2が加わるとなります。　　　

また、上の 回＝＝回 にも、同様の考えで、→方向に 35KN／2(17.5KN)が加わるとなります。
解析の入力設定も、１Ｎの涙 さんの10.5KN と異なるので、解析でその値の算出方法も確認し、
計算若しくは解析して求めてください。

１Ｎの涙 さんへ、
よろしくお願いします　(^_^;) 。

> 回答 (6),(7) は、また大きく計算も間違っているし考え方も違っていると思う
> 何だか、脇道の暗い方に行ってしまいそうなので、疑問点を指摘しておきます
解析ソフト重視なので、求め方のプロセスが少し？？のようですが、解析ソフトを上手く
使用できるようになれば、１Ｎの涙 さん のようになるので、頑張ってください。

右の 回 には、モーメントの釣り合い計算から、{0.8m/2＋1m}×15kN＝21kN･m となり、
　　 || 　　　21KN･m＝0.6m×Ｆa計算から、Ｆa＝35KNが上から加わり、圧縮荷重が加わります。
　　 回 　　　それがピッチ1000mmの２箇所に作用するので、35KN／2が加わるとなります。
ですが、実際は“▽”にて、“||”の圧縮分は変化しますが、長さ“1m⇔1m⇔1m”の方向の
変化は殆どないとします。

また、上の 回＝＝回 にも、同様の考えで、→方向に 35KN／2(17.5KN)が加わるとなります。
ここでは、長さ“1m⇔1m⇔1m”の方向は、両持ち２点集中荷重の梁計算で、変形を求めます。

左の 回 には、モーメントの釣り合い計算から、{0.8m/2＋1m}×15kN＝21kN･m となり、
　　 || 　　　21KN･m＝0.6m×Ｆa計算から、Ｆa＝35KNが下から加わります。
　　 回 　　　それがピッチ1000mmの２箇所に作用するので、35KN／2が加わるとなります。
ですから、上側方向に、長さ“1m⇔1m⇔1m”の方向は、両持ち２点集中荷重の梁計算で、
変形を求めますとなります。

下の 回＝＝回 にも、同様の考えで、←方向に 35KN／2(17.5KN)が加わるとなります。
ここでは、長さ“1m⇔1m⇔1m”の方向は、両持ち２点集中荷重の梁計算で、変形を求めます。
正確には、(17.5KN－17.5KN×摩擦係数)が加わると、“▽”部と構造物の滑り損失が加わり、
負荷の17.5KNが減りますが、計算は大きな数値を確認すればよいので、無視します。

のように、“回＝＝回”等を組子として考え、各組子に加わる力から計算をしていきます
が、小生の解析手法です。

回答 (6),(7) は、また大きく計算も間違っているし考え方も違っていると思う
何だか、脇道の暗い方に行ってしまいそうなので、疑問点を指摘しておきます

ちなみにラーメン構造として考えた↓断面での2Dモデルの図を作成してみた
一目瞭然だろうが、隅に加わるモーメントを決して均等に振り分けないことです
また、 梁1本に「1.75kN/2」というのは計算が20倍間違っているのではないか？

戻って、このように各々モーメント並びに軸力やせん断力が３Ｍの長手方向の
角パイプには剛性比により変位に比例して応力分配されるから4本全部異る筈だ
となれば2Dラーメンで変位を計算し、これからすべてを算出できそうですねぇ

参考までに↓3DモデルでFEM解析したので大きくこれと違えばアドバイス可能
但し、中間の支点が無くなったり両端が固定端で無くなったり未確定では困る

ねじり角はフレーム断面が均一に変形する訳では無いと解りますか？
となれば仮想図心である□800の中心は意味を左程なさなくなってしまう
そもそも、ねじり角を知りたいのか？剛性や応力は心配ないのだろうか？

私が作図した断面での2Dモデル図は見ることが出来ましたか？支点自体に曲げ
モーメントが生じるのは↓のサイトの例を見ればより分り易いかも知れません
http://homepage2.nifty.com/Pixy/calchtml/routine/04/iso/0427.html

中間の支点は「3Dモデル」のようにZ方向のみ拘束するとして計算してます
反力は「断面での2Dモデル」の断面部が2面あると思ってもらえばよいです
つまり節点5,9では↓17.5kN、節点6,10では↑17.5kNの反力になる筈ですが

実際「3Dモデル」は□200xt6の場合だと節点5,9では↓0.21kN、節点6,10では
↑3.13kNの反力となり、両端の固定端にも対称なmax4.75kNの反力が生じる
（節点3,13については荷重点から遠いせいか、殆どゼロとなるようす）
つまり、全体の構造と部材により反力も変化することになるので難しいのです
逆を言えば構造物全体での抵抗力があるとも言えますか・・・

従って手計算で出来る範囲と言っても、例えこのような簡単な構造であっても
かなりの大変さだと思う。却ってトラス構造の方が軸力だけなので解り易い位
私は機械設計士なので大きな構造体になればなる程、手計算は出来なくなる

例えば、交叉梁(十字梁)だって立体構造と言えるが、あの応力計算でさえも
不静定なので、たわみから個々の反力を算出し応力を導く大変さが分るかな？
となれば正確に手計算で容易に導くことは非常に難しいと知るべきだと思う

もっと簡便にザックリ計算する方法は無いかとも考えたのですけども本末転倒
でこれは意味のないことだと思う。残念ながら、手計算で限られた時間で教え
られるような力量も時間も方法も私には無いだろうと思うので御免なさい

作成した「3Dモデル」FEMの解析結果は持っているので、これなら回答できる
のですが、こうなれば只で外注させたことと変わらなくなるので貴殿には何も
残りません。あらためて手計算の間違いを指摘するだけに終始したいです

長文失礼しました

両端は、下図のような”下向きのみ固定の受座”で、転倒のない距離をもって支持します。

　　 　／回＝＝回＼
　　 ／　||　　||　＼
＿＿回＝回＝＝回＝回＿＿
/////▽////////////▽////　　な感じですかね。　　　Ｑ；question、Ａ；answer

Ｑ１；”角パイプ２本が、13.125kNの中央集中荷重を受ける条件の両持ち梁計算”ですが、
　　　断面２次モーメントは平行軸の定理を用いた形状（中心距離0.6m）と考えることは
　　　妥当でしょうか？（両端部は剛接されているとすると）
Ａ１；“回＝＝回”構造の角パイプを繋いでいる“＝”が、長さ３mに全て取付がなく、
　　　両端と両端から１m内側の計４箇所しかないので、角パイプの“断面二次モーメント”や
　　　“断面係数”を用いて、その２本分である“断面二次モーメント”×２や“断面係数”×２
　　　という意味です。　

Ｑ２；”角度が１°以上となれば、角パイプの板厚に圧縮の座屈荷重が作用する恐れがある”
　　　について、１°とはノウハウ的な数値なのでしょうか？
　　　経験的内容で、座屈応力計算時の細長比が大きくなると、梁計算の曲げ応力が許容応力内
　　　でも、たわみ角やたわみ量が増加します。
　　　すると、角パイプの肉厚の座屈応力確認が必要だとの意味です。

さて、模擬形状で、確認してみましょう。
使用角パイプは、“中心距離0.6m”で“外寸0.8m”から、200mm×200mm×12mmとします。
転倒モーメントは {0.8m/2＋1m}×15kN＝21KN･m で、中心距離0.6mから 21KN･m÷{0.6m/2}÷4
＝1.75kNが角パイプに加わる。
そして、曲げモーメント計算の条件は、

　　　　　 1.75kN/2　　　1.75kN/2
　　　　　　　　↓　　　　↓
　＿＿＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＿＿ 　
　////▽　　　　　　　　　　　　　　▽////

　　　|---1m---｜---1m---｜---1m---|　　　　　　 　　

として、(1.75kN÷2)×1000mm＝875kN･mmの曲げモーメントが作用するとし、
曲げモーメント875kN･mm÷角パイプ断面係数498000mm^3＝0.00176kN/mm^2＝1.76N/mm^2
と曲げ応力を算出。
<便宜上、角パイプ１本での計算とした。サイズが、200mm×200mm×12mmだったので、>
通常は、３m全てに1.76N/mm^2が加わらないのだが、薄肉座屈応力を厚さ12mmと長さ3000mm
の条件で確認すると、座屈応力 2.71N/mm^2 ＞ 曲げ応力 1.76N/mm^2　となり問題が発生しない
条件であることが確認できました。


以上は、大雑把な計算方法で、安全率が非常に高い物だけに適応されます。
角パイプが 200mm×200mm×12mm サイズだったので、感覚的に概略計算でよいと感じ、
事例を記しましたが、本来は想定外力も含めて、トラス又はラーメン解析して、角パイプの
板厚部分を組子として計算をすると、適正角パイプのサイズとなるでしょう。

　
　　　　　　　　
　　　　　 1.75kN/2　　　1.75kN/2
　　　　　　　　↓　　　　↓
　　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　
　　　||　　　　||　　　　||　　　　||　　　　
　＿＿＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＿＿ 　　
　////▽　　　　　　　　　　　　　　▽////

　　　|---1m---｜---1m---｜---1m---|　

の条件で、ラーメンやトラス構造解析をして、各組子に掛かる荷重を割り出し、断面積で
除すると応力が算出できます。

その手法で、応力確認をして、許容応力以内であるかチェックする方が早いです。　　　　　

条件が判りました。

角パイプ　回200×200×6程度
●部にモーメント：15kN・m（2点合計、下向荷重15KN、オーバーハング1m）
●部で４本の角パイプを、同部材で接合
▽部で支点（下向きのみ固定の受座）
＝部が角パイプ

　　
　　　　　　　　●　　　　●　　　　　　　　 　＿
　　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　 　|　 　／回＝＝回＼
　　　?　　　　?　　　　?　　　　?　　　　0.8m ／　?　　?　＼
　＿＿＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＿＿ 　　|　 回＝回＝＝回＝回
　////▽////////▽////////▽////////▽/// ￣

　　　|---1m---｜---1m---｜---1m---|　　　　　　 　　 |-0.8m-|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 〖両端形状〗

　　　　　　　　　　　→│ 0.8m/2＋1m │←
　　　　　　　 　＿　　│　　　　　　↓
　　　　　　　　　|　回＝＝回　　　　 15kN　
　　　　　　　　0.8m ?　　?
　　　　　　　　　|　回＝＝回　　　　　　　　　
　　　　　　　　　￣
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 |-0.8m-|　〖●印形状〗

のようですね。

他の回答者さんも、記載しておりますが、トラスやラーメンの解析方法で、角パイプの板厚×長さ
に圧縮や引張荷重(曲げ荷重を分解した荷重)とせん断荷重が掛かる荷重を算出して、求めます。

先ず、両持ち梁で、●印に15kN/2が加わる条件での圧縮や引張荷重(曲げ荷重を分解した荷重)
算出は、下側に“下向きのみ固定の受座”があるので、計算は不要と考えます。

次に、転倒モーメント(上図の如くの仕様であれば、{0.8m/2＋1m}×15kN＝21KN･m)荷重が
加わる計算となり、中央の●印断面形状であれば転倒する。
両端の形状であれば、転倒しない構造で、固定は両端の“固定の受座”で行なう仕様でしょうか？
その条件であれば、概略計算は 21KN･m÷0.4m÷4＝13.125kNが４方向偶力で加わるにて計算を
してもよいかと思います。(パイプ中心間のピッチが、0.8mと考えての計算です。)
　　　　　　　　　　　　　　　　13.125kN
　　　　　　　　　＿　　　　　　　→
　　　　　　　　　|　　　　　　回＝＝回　　　　 　
　　　　　　　　0.8m　 13.125↑?　　?↓13.125kN
　　　　　　　　　|　　　　　　回＝＝回　　　　　　　　　
　　　　　　　　　￣　　　　　　　←
　　　　　　　　　　　　　　　 13.125kN

　　　　　　　　　　 　　　　　|-0.8m-|　　　　の条件で、

角パイプ２本が、13.125kNの中央集中荷重を受ける条件の両持ち梁計算で確認します。
応力は、無論ですが、たわみ角も計算します。
たわみ角計算時は、両端を自由端条件で計算をし、角度が１°以上となれば、角パイプの
板厚に圧縮の座屈荷重が作用する恐れがあるので、角パイプ寸法×板厚での座屈計算を
する必要があります。

最後に、たわみ角計算時は、両端を自由端条件で計算をし、角度が１°以上となれば、
やはりトラスやラーメン構造での角パイプの板厚を組子と考え、“力の釣り合い”にて、
組子に掛かる荷重を算出し、計算をした方がより確かです。
最初に紹介した、簡易確認方法で、充分に余裕がでる値が出たなら、問題がありませんが、
初心者は色々な条件で計算ミスや条件設定ミスをするので、両方で確認した方が良いでしょう。


質問の補足に、アドバイス内容を基に、パイプのサイズや転倒モーメントの明示をして、
質問者さんの計算プロセスである計算式を列挙して、確認する方法もありますよ。

“||”の全角特殊文字を用いて、画を描いたら文字認識しないで、半角の“?”に文字化け
しました。

画が判り難いので、半角の“|”を用いて、再投稿します。

　　
　　　　　　　　●　　　　●　　　　　　　　 　＿
　　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　 　|　 　／回＝＝回＼
　　　||　　　　||　　　　||　　　　||　　　　0.8m ／　||　　||　＼
　＿＿＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＿＿ 　　|　 回＝回＝＝回＝回
　////▽////////▽////////▽////////▽/// ￣

　　　|---1m---｜---1m---｜---1m---|　　　　　　 　　 |-0.8m-|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 〖両端形状〗

　　　　　　　　　　　→│ 0.8m/2＋1m │←
　　　　　　　 　＿　　│　　　　　　↓
　　　　　　　　　|　回＝＝回　　　　 15kN　
　　　　　　　　0.8m ||　　||
　　　　　　　　　|　回＝＝回　　　　　　　　　
　　　　　　　　　￣
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 |-0.8m-|　〖●印形状〗

と、
　　　　　　　　　　　　　　　　13.125kN
　　　　　　　　　＿　　　　　　　→
　　　　　　　　　|　　　　　　回＝＝回　　　　 　
　　　　　　　　0.8m　 13.125↑||　　||↓13.125kN
　　　　　　　　　|　　　　　　回＝＝回　　　　　　　　　
　　　　　　　　　￣　　　　　　　←
　　　　　　　　　　　　　　　 13.125kN

　　　　　　　　　　 　　　　　|-0.8m-|　　　　の条件で、

です。

そもそも、ねじり剛性というのは断面が均一で変形後も平面が保たれるとして
考えられた理論であるから質問のような断面に簡単に適用するのは危険だろう
ましてや閉断面の薄肉はりであれば単体でも特別な配慮も必要になるでしょう

従って、全体的な断面２次極モーメントやサンブナン捻り剛性の式を使うのは
反則です。回答(1)さんの言うように４隅とも均一な、ねじりの変位にならない
つまり各々の部材の剛性が作用し合うので手計算では非常に煩雑で難しいだろう

↓「トラスの立体解析」のように手計算でも近似的に求められるのであろうが
実務的には厳しい。従ってFEMを使った構造解析に頼った方が早く間違いがない
と思いますが、時間が・・・なさそうですね。ちなみにザックリと計算したら
荷重点の変位は意外に僅かなモノだった。恐らく支点が直下にあるからかな？

あれ？？？両端の支持が固定から、支持に変わってしまいましたね・・・
このように条件を急に変えられても困るが、それでも□200なら十分過ぎる位か
戻ってトラス構造にすれば相当小さい角形鋼管サイズにも出来るだろうと思う
以上、構造計算の出来る機械設計屋などの専門家に頼むことが間違いないです