ヘルツの接触理論とは？

回答（２）再出

理論はさておき、実用面で怪しげ状態を放置してないはずと探した結果、指標は見出せました。

　　土木学会論文集・ピン接合部の接触圧に対する考察
　　http://library.jsce.or.jp/jsce/open/00037/1997/570-0119.pdf

　　２．道路橋示方書や各種の設計基準における接触圧の取り扱い
　　　ｒ1／ｒ2が1.02以下の場合には、接触圧はピンの断面全面で接触するものと考え、
　　　ピンの投影面積で平均的に分担するものとし、ｒ1／ｒ2が1.02を超えるものはHertzの公式
　　　を適用する

　　６．結論
　　　・・・・ヘルツの式もソコソコ合っていると確認・・・

この基準では、回答（２）の例中 ＜ピンφ１６　孔φ16.02＞ だけはやはりダメ。
その境付近でどう判断するかとか、用途によってはこの基準が適切とは言えないこともあると思います。

参考文献に挙がるのは測定に関してが多く、理論は追いにくいようです。

この外円vs孔が近接する時以外は式としての限界は無いが、サイズか微小になると面粗さで形状が凸凹して式の適用が難しくなる実用上の問題が生じます。

質問者さんの言う微小とは皆さんと同様に弾性範囲であることを言っていると思う

岩魚内さんの投稿に幾分か疑問に思ったので、思い切って投稿してみるぅ
気になって材料力学便覧において、ヘルツの公式を確認してみました↓「」
また吊板計算にこの公式を使うことには以前から疑問に思っていましたので

「曲率半径Ｒは,凸面のときに正，凹面のとき負，平面のとき無限大とする」
つまり円筒と凹面の計算も可能であると思う。その場合は接触部分は微小円と
はならずに微小幅の長方形となると考えることができるのであろうと思います

戻って吊板に、このヘルツの公式を用いた計算式は過去ログの時、初めて見ました
その時も申し上げたのだが、部分的な降伏が全体の破壊には直結せず、つまりだ
極限設計という考えに従うと、ヘルツの公式を吊板に適用するのは如何なものか

恐らくJIS吊板では応力解析でも部分的に降伏点を超えるであろう。しかしである
破断による破壊である吊板と、疲労破壊を伴うようなモノを一緒くたに考えること
はナンセンス。吊り荷重自体の安全率も6以上とか大幅に大きいしそれこそ計算
が無意味に見えてしまう。実際にヘルツ応力で計算したらJIS吊板はOverするだろう

であるから逆に吊板の穴径に対しシャックルのピン径を気にしなければならないという
おかしな事にもなるのだ。JISF3410をよく見て欲しい。吊板の穴径に対するシャックル
のピン径はどれもD/3以下と小さい。何故ならネジ部がピン径より太いからなのである
このように、先の吊板計算をしたサイトには疑問を持っているが、皆さんはどう？

＞岩魚内さん、質問者に代わって御礼申し上げます

＞「土木学会論文集・ピン接合部の接触圧に対する考察」
の資料をありがとうございます。とってもためになりました。ピン部での接触
応力を問題にし疲労強度まで考える必要があるでしょうねー恐ろしくデカイが
φ130と↓のφ16を同じような条件の半経比1.02・・・理屈は同じになるのかな

＞（ピンφ１６　孔φ16.02）これは私も密着してしまう感触があって怖いなと
感じはしたが、堂々とネットで公開されるとそんな計算で設計する所もあるのだ
なっと殆ど疑おうとも思わなかった。不用意に信じることだけはしたくないです

この出処は
　　http://mdws1.mech.okayama-u.ac.jp/pdf/heltz-contact.pdf
　　?接触面は2 つの物体の表面に比較して極めて微小であること

しかし、これを径差が接近するはずのすべり軸に適用してしまった例があるのです。
　　http://mori.nc-net.or.jp/EokpControl?&tid=267839&event=QE0004

　　http://www.kyoryo-gijutsu.co.jp/pdf/calculation.pdf
　　ピンφ７２、孔φ７７
　　http://www.e-bridge.jp/eb/webcalc/design/webcalcexam.html
　　ピンφ３６、孔φ４０
　　http://www.takitard.com/heltz/heltz.pdf
　　ピンφ１６　孔φ16.02
この質問の時随分調べたが、適用限界を明確に示したサイトは無かったです。
どうみたって最後のは酷い！！

一般にすべり軸では荷重を投影面積で割った応力を計算します。
ヘルツ式で隙間を小さくしてゆくとこの応力を超えて幾らでも小さくなって
しまいます。

この時に見付けたのがヘルツ式の自動計算サイト
　　http://engineering-web.com/contact_ja/hertzCylinderCylinderL/

接触面半径が元より大きくなるあたりで信用ならなくなるようにも思います。　

自動計算の計算式
　　１／Ｒ ＝ １／Ｒ1 ＋ １／Ｒ2
片方が平面のとき、Ｒ2 ＝ ∞ として計算するから右端項はゼロで　Ｒ＝Ｒ1

孔の内Ｒなら符号逆
　　１／Ｒ ＝ １／Ｒ1 － １／Ｒ2
Ｒ1＝Ｒ2では計算不能。でなくとも接近すればＲは非常に大さい値となる。

外円vs外円および片方が平面の場合、Ｒの大小によらず
　　＜ 接触面は２つの物体の表面に比較して微小であるということ ＞
の範疇で、また、計算したヘルツ応力が許容ヘルツ応力を超えたら限界と判断するから、それ以上でどう誤差が出ようが問題にはならない。

しかし外円vs孔の場合は径が近いほど制限範囲を逸脱してしてしまうから式が使えない。

自動計算なので値を変えて遊んでみれば判ります。

URLで示す“軸受内の弾性接触の理論”でも。

○1.2　仮定
　ヘルツ接触の計算に当たっては、以下のような仮定がされています。
　なお、これらは実際の転がり軸受の内部においてもほとんど成立するものです。
　（1）材料は均質である。
　（2）接触部分の大きさは物体の大きさに比べて微小である。
　（3）接触面に作用する力は接触面に垂直である（すなわち接触面内には摩擦がない）。
　（4）変形は材料の弾性限度内で行われる。
と、（2）の記載があります。

URLの内容を確認ください。


実際どれほど微小でないといけないかということは、
（4）の　変形は材料の弾性限度内で行われる範囲となります。

Ａ）球と球の接触では点接触で、変形は材料の弾性限度内なので、微小な点となる
Ｂ）球と円筒、円筒と円筒、球と平面も、Ａ）に似た格好になる
Ｃ）円筒と平面では点接触で、変形は材料の弾性限度内なので、非常に細い線となる
等々のように。

但し、URLに示す“図1.2　玉と軌道溝の接触”にような関係では、比較的大きい部類になる
ために、ベアリングで採用され比較的大きな負荷で動作/回転ができるとなります。