ラック&ピニオンとは？

回答（１）再出です。

他の回答者さんの記述の滑車やNo.39310の楔力計算、シーソーや天秤の原理は、
力１×動いた距離１÷所要時間１＝ 力２×動いた距離２÷所要時間２となり、
１と２が同じ所要時間内での出来事であれば、
力１×動いた距離１＝ 力２×動いた距離２×（所要時間１÷所要時間２）
力１×動いた距離１＝ 力２×動いた距離２×（１）となり、
力１×動いた距離１＝ 力２×動いた距離２の計算になり、
力は、動いた距離に対して反比例になります。

さて、質問者さんが混乱するので、記述はするまいと思ったのですが、敢えて記述します。
質問者さんの機構で、回転用アクチュエータにピニオンを取り付けて、実際に力を測定した
場合には、以下に示します条件下では1/2Ｆとならないケースも出てきます。
? 定格又は最高回転数から回転数が低くなっても、トルクは変わらない若しくは殆ど
　 変わらない回転用アクチュエータ仕様の場合
? ラックの力を計測する場合、定格又は最高回転数から導き出したラックの速度を
　 大きく下回った若しくは殆ど停止している状態の時
?と?の時は、他の回答者さんも記述しています偶力と、作用＆反作用（反力）にて、
移動側のラックが偶力によって受ける力はＦ/２となります。
そして、固定側のラックが偶力によって受ける力もＦ/２となり、ラックが固定して
いますので、その反力が移動側のラックに伝わり、?と?の条件下で測定した場合には、
略Ｆの力が測定値となります。

因って、回答（１）では条件を限定した形での回答と、詳しい説明をしました。
回答（１）での条件となる回転用アクチュエータは、通常のモータです。
回答（５）での条件となる回転用アクチュエータは、低速でもトルクが落ちない特殊なモータ
若しくは、エアや油圧等の回転用アクチュエータ、等々です。

少し記述が難しくなったようですが、経験を積んで理解していってください。

滑車は、本質問内容のラック＆ピニオン機構に一部似ていますが、本来は違うものなので、
参考にはならないと小生は思います。
一番の違いは、滑車とピニオンは剛体ですが、滑車に使用するロープは剛体でないがラックは
剛体と云うことです。
滑車に使用するロープは、引張力に強いが圧縮には滅法弱い。
ラックは、引張力にも圧縮力にも強い。
だから、滑車に使用するロープは反力を受けれない機構であるが大きな違いです。
他にも、滑車は釣瓶式滑車やその他の滑車使用法にて、細かい内容が異なりますから、
解り易い箇所だけ参考にした方がよいと思います。（深みに嵌り易い内容だから）

ステマって、何のことだか？？　身に覚えがないし、小生のメリットも判らない。

小生は、只々、人に物事を伝える難しさの確認をこの森でしているだけです。

それが、メリットで。悪く思わないでくださいませ!1

回答（３）に同意。。ダブルピニオンと呼称され、片方も動く複雑なメカもある。。１行ﾃﾞｵﾜｯﾀ?

　　　　　訂正　ダブルピニオン　→　ダブルラック
↑無駄の極み。回答（3）から＜今はやりのステマなんですよ＞の批判も聞く耳無・・１行ﾀｼﾃｼﾏｯﾀ

まあ、一瞬で答えると
エネルギー保存の法則があるので
移動量が2倍になれば力は半分になります
（ロスを考えない）


なんか難しく書いてあるけど
単純な滑車の問題だよ
http://rottonphysics.blog92.fc2.com/blog-entry-74.html
ひもがラックになってるだけ

「ピニオンを押す力」と表現されていますが「ピニオンを回すトルク(モーメント)」の方が正確です。力とトルクの関係は高校物理の力の釣り合いのあたりを復習して下さい。
特に偶力を呼ばれる分野がほぼご質問の内容に合致します。

それでご質問の場合、ピニオンを回すトルクをT[N・m]、ピニオンの有効直径をD[m]、ラックに生じる推力をF1[N]とします。

また、トルクによって発生する推力で考えるとややこしいのでその反力で考えます。(反力についても高校物理の復習をして下さい。)

固定側ラックはピニオンに対しピニオンの中心からD/2[m]の位置にF1[N]の半力を与えています。これはF1×(D/2)[N・m]のトルクを与えていることを意味します。

また移動側ラックも同様にピニオンに対しピニオンの中心からD/2[m]の位置にF1[N]の半力を与えています。よって同様にF1×(D/2)[N・m]のトルクを与えます。

発生するトルクはピニオンを同じ向きに回転させようとするので足し算されることになります。よってピニオンに働くトルクT1は以下の様になります。
T1＝F1×(D/2)+F1×(D/2)
　＝F1×D [N・m]

この式を変形してトルクによって発生する推力は
F1＝T1÷D [N]
となります。

最後に上記の計算は理想的な条件での値なので現実の機構では摩擦などで損失が発生します。
そのため、実際の式は力の伝達効率σをかけて
F1＝σ×T1÷D [N]
という形になります。

ちなみに伝達効率σは潤滑状態などで変わるので実測することが望ましいです。一般には樹脂製歯車などで70%、ベアリング入りの歯研歯車で99%とされているらしいです。

> もう一方のラックはピニオンの倍のストロークで動くがこのときピニオンを押す力Ｆに
> 対して動くラックが押す力はＦでよいのか？又はＦ/2と考えるのか？教えてください。
の貴殿の内容にそぐわないかもしれませんが、Ｆ/2と考えるのが妥当と考えます。
その理由は、
ピニオンのような回転の動力計算をする場合は、Ｐ＝Ｔ×Ｎ÷9550となります。
動力Ｐ：キロワット（ｋｗ）、Ｔ：トルク（Ｎ・ｍ）、Ｎ：回転数（ｒ/ｍｉｎ）
そして、そのＴ：トルク（Ｎ・ｍ）をピニオンの半径で割った値がＦとなります。
≪トルクをピニオンの半径で割った値であるＦが、貴殿の示すＦかが不安ですが≫
又、ラックのような直線の動力計算をする場合は、Ｐ＝Ｆ×Ｖ÷1000となります。
動力Ｐ：キロワット（ｋｗ）、力Ｆ：ニュートン（Ｎ）、Ｖ：速度（ｍ/ｓｅｃ）
です。
それで、同じ動力源からの内容で、Ｖ：速度が２倍になりますと、Ｆ：力は1/2になります。
以上です。

ですが、回転の動力計算と直線の動力計算の比較が何故できるのか？
一方はトルクと回転数、もう一方は力と速度を使用しているのにと思うでしょう。
でも、同じなのです。円周を回る速度（周速度）と力の積×定数にて同じなのです。
回転運動の計算式はＰ＝Ｔ×Ｎ÷9550ですが、その基になる計算式はＰ＝２×π×Ｔ×Ｎ
÷（1000×60）です。そして、トルクＴは、半径Ｒ×力Ｆとなります。
すると、Ｐ＝２×π×Ｔ×Ｎ÷（1000×60）→ Ｐ＝２×π×（Ｒ×Ｆ）×Ｎ
÷（1000×60）
Ｐ＝（２×π×Ｒ）×Ｆ×Ｎ÷（1000×60）の（２×Ｒ×π）は円周長さなので、
Ｐ＝（円周長さ）×Ｆ×Ｎ÷（1000×60）となります。その（円周長さ）×Ｎ
は、
Ｎの単位がRPM（r/m、回転/min、回転/分）なので、一分間に何回転しているかと
（円周長さ）の積（×）にて、一分間に何メートル（ｍ）進んだかになります。
そして、Ｐ＝（２×π×Ｒ）×Ｆ×Ｎ÷（1000×60）の÷（1000×60）の60処理にて、
一分間に何メートル（ｍ）進んだか÷60 ＝ 一秒間に何メートル（ｍ）進んだかとなり、
結局、一秒間に何メートル（ｍ）進んだか ＝ Ｖ：速度（ｍ/ｓｅｃ）なので、
Ｐ＝Ｆ×Ｖ÷1000となってしまいます。
Ｐ＝Ｔ×Ｎ÷9550 → Ｐ＝Ｆ×Ｖ÷1000　が同じことが成立したことになります。
因って、同じ動力源にて速度が２倍になると、力が1/2になります。

似たような内容に、回転運動で減速するとトルク（円周上の力）は大きくなり、
増速するとトルク（円周上の力）は小さくなることがあります。