ロバーバル機構の解析と証明

Question

質問ではないのですが投稿させて頂きます

「 再：平行リンクのクランプ力計算 」において arigatosanq さんと約束していた
「ロバーバル機構の解析」について僭越ながも発表させて頂きます。また、1670年に
発表された本機構の証明は1804年の一世紀以上後に同じ数学者によりなされたようす
生憎それがどのような証明かは知りませんが、後述の証明方法を私も閃いてしまった

ロバーバル機構の証明＞

はじめに＞

ロバーバル機構についてマトリクス法でPCで解析してみたところどうも3％程度の誤差が生じ吊り合わなかった。
もしかして「ロバーバル機構」は厳密には吊り合わないのではないのか？という疑問が生じて論文を探したが↓
くらいしか見つけられない。この論文中の軸力 F1=F3 としている部分について言えば誤差にしては大き過ぎるかと

詳細な説明＞
「ロバーバル機構の証明」図↓を簡単に説明する。赤色を剛体と考え青色の上下の主・複さおは弾性はりと考える
すると左右の枝(腕)の長さの違いからモーメントの差から節点2、9の回転角は左右の荷重の作用線の傾きに繋がる

従ってこの作用線の延長線上の交点は支点5,6の延長線からε偏心した位置での合力となる。Rは主・複さおの
同一曲率半径であるからε/R はその比から極小になるから殆ど実際上は左右の荷重の誤差が問題になることは、
まづ無く実際実験で証明しようとしても寸法精度や摩擦、材料の剛性、さおの自重等の影響が大きく困難だろう

利用＞
戻って、2つの荷重の力の作用線から合力を導き作用点が支点と偏心すると手法は実に単純明快で理解しやすい
但し、静定構造に於いて実際の変形量を考慮した解法などは私の知る限りは存在していなかったと記憶します
よって、この解法は力学上の新手法と言えなくもないのではないかとも思えるが威張る程のものでも無いですね

結論＞
「ロバーバル機構」は厳密には吊り合わない。極小の偏心から理論上は必ず誤差が生じる

追記＞
更に近年の「電子天びん」も本基本原理が使われている。つまり理論上の誤差等を補正して誤魔化している？
とも言える。秤メーカーではこの誤差を「偏置誤差」と称しているが、初めから誤差が存在する機構だと思う
もしも、理論上にも誤差が生じない「リンク機構」が発見されれば一気に関連特許は10個以上は取れるだろう

新たに「ロバーバル機構の解析 ver101」↓をupしました

部材15を支点間に追加し解析し直しと若干一部修正しました
精度をあげましたが支点7，8のX方向の違いは計算誤差では無いようです
棹の比率によって誤差も少なくなるだろうと思うが無くなりはしないだろう

主・複さおと追加部材15で反力のズレをモーメントとして受けているのが
解析図で目視できます。部材の剛性を上げれば弾性ひずみエネルギー(ひずみ)
として減衰できる量も増えるからこの誤差を小さくしていくことも可能でしょう

現実的には部材や摩擦などの精度と比較すれば完全に吊り合っていると言えますが
理論上はやはり支点に水平方向のズレが生じ僅かに吊り合わないということにする
ことは、それ程までに異論が出ることでは無いだろうと思われます

そう言う意味から言えば、私の「ロバーバル機構の証明」は分り易い

以上をもって、新たな「質問倍返し」が無ければ閉じようと思いますので御連絡

ただ唯一アルミ起歪体の一体構造では、どうなるか興味があるが、そのような
解析環境に無いだけに、文献をみてみたい。恐らく特許の関係上からも極秘の
部分になるだろう。高速選別機等は早く弾性復帰する必要からも振動減衰等の
難しいことも考えなければならないだろうが、これ以上は好奇心が吸収された

＋＋＋＋＋

「ロバーバル機構の解析 ver101」

http://www.fastpic.jp/images.php?file=7690813394.jpg

画像２つをuploadしました

「ロバーバル機構の解析 ver102」
http://www.fastpic.jp/images.php?file=3131120171.jpg

前回の誤差の原因を修正しました。これで完全に釣り合います
更に軸力も若干ミスがあり変わりました。済みません最新版で御座います

＋＋＋＋＋

「ロバーバル機構の解析 ver200」
http://www.fastpic.jp/images.php?file=1243957072.jpg

上皿の位置が支持棒の真上にあるtypeをlumiheartさんの御要望でB.M.Dのみ

精度をあげようと、あれこれしている内に謝って間違った解析をしてしまった
前回の「ロバーバル機構の解析 ver102」は間違いであった。詳細に言うならば
ヒンジ部分回りで入力ミスがありまして、これが全体のミスに繋がったと思う

っということで、恐らくこれが↓決定版となるであろう・・・
「ロバーバル機構の解析 ver103」
http://www.fastpic.jp/images.php?file=1472607021.jpg

■不静定構造物の次数・・・更に静定構造と思っていたが違ったようです
判別式　n=m＋r＋p－2k=11+4+4-2*10=-1＜0　不安定（構造物とならない）
→考えてみれば荷重差によりフラフラするようでは安定構造の訳は無いのよね
構造物では余り使わないヒンジを多用しなければリンク機構解析は難しいようだ

「ロバーバル機構の解析 ver201」をupしました

ヒンジ部を修正しましたので若干 B.M.D. が違うことが確認できます

http://www.fastpic.jp/images.php?file=1274586195.jpg

「ロバーバル機構の解析 ver103」をupしました

ヒンジ部を修正しましたので若干 B.M.D. が違うことが確認できます
前回ヒンジ部の剛性を下げ過ぎて逆に却って実際から離れてしまったようだ
ヒンジによる誤差は避けられないし、この構造ソフトにおいては仕方のない部分
があります。従ってヒンジ部に若干のモーメントが残るのは誤差の許容範囲と
して考えて頂きたい。さらに今回のB.M.D.では四角形に繋がった構造ゆえ曲げ
モーメントがヒンジ部に生じるものと思われる。これが今の時点での見解です

http://www.fastpic.jp/images.php?file=1472607021.jpg

以上をもって回答を締め切ります。ロバーバル機構を知ることによって力学の
面白さを再確認したと共に、その難しさと奥深さに改めて触れることができた
ことは今後の私の機械設計士としてのスキルにも多大な影響があっただろう

長らく、ご清聴ありがとうございました。当面、構造ソフトが手元から離れて
しまうので解析もできないことから、これにて一時終了させていただきます

ロバーバル機構の解析
ロバーバル機構論文
ロバーバル機構の証明
ロバーバル機構
http://www.fastpic.jp/images.php?file=2288635763p.jpg
http://ci.nii.ac.jp/els/110001825204.pdf?id=ART0001981880&type=pdf&lang=jp&host=cinii&order_no=&ppv_type=0&lang_sw=&no=1380679925&cp=
http://www.fastpic.jp/images.php?file=3958916184p.jpg
http://homepage3.nifty.com/kuebiko/science/freestdy/balance.htm

Accepted Answer

とりあえず

＞「ロバーバル機構の解析 ver101」
＞http://www.fastpic.jp/images.php?file=7690813394.jpg

の　[15]の構造体は不要なんじゃないかな？

もし水平の腕がたわむとしたら、Ry7とRy8は同じにならないと思います。

また
http://www.fastpic.jp/images.php?file=2288635763p.jpg
で
[7][8]点にかかる力の水平分力がこんなに大きくはないはず。
２点でこれだけのモーメントかけられたら
天秤ばかりでは支柱（はかり）自体が倒れちゃうんじゃないかな？

ごめん、追記は間違い。

ロバーバル機構の肝は、支点側で横モーメントを打ち消すことでしたね。

Answer

＞「ロバーバル機構の解析 ver102」
Ｗｏｗ　完璧じゃあないですか？
やっと無間地獄を抜け出れたかな？
おめでとうございます

＞「ロバーバル機構の解析 ver200」
おまけまで付けて頂き有難う御座います

Answer

議論なさっている核心とは異なると思いますが、モデルを単純化する方法と
して、以下のような考え方が有効と思います。どなたか、ご検討いただけな
いでしょうか。

解析が難しくなっているのは不静定構造になっていることが大きな原因と
思います。現状のモデルでは、支点７，支点８の反力を求めるには、上梁、
下梁の剛比などの条件が必要になっています。
下側の支点７を、上下方向に移動できる移動支点（ローラー支点）として
鉛直方向の反力は上側の支点８で承け、水平方向の反力を下側の支点７で
承けるモデルを考えれば、静定構造となるので、各部材の剛性を考える
必要がなくなると思います。

一旦、静定モデルで解析をおこない、その結果に納得してから、不静定モデ
ルの解析結果に取り組んでは如何でしょうか。

＞下側の支点７を、上下方向に移動できる移動支点（ローラー支点）として
＞鉛直方向の反力は上側の支点８で承け、水平方向の反力を下側の支点７で
＞承けるモデル

少し言葉が足りなかったようです。
言葉を補って、次のように修正させて下さい。

下側の支点７を、上下方向に移動できる移動支点（ローラー支点）として
鉛直方向の反力は上側の支点８で承け、水平方向の反力を上側の支点７及び
下側の支点７で承けるモデル
支点が２個ありますから、モーメント荷重を承けることができ、転倒しない
ものと考えます。
（実際の上皿天秤の構造は、ここで提案した静定モデルの近いと思います。）

Answer

すいません質問の倍返しです

http://mori.nc-net.or.jp/EokpControl?&tid=289864&event=QE0004
回答（12）さんの追記にある
www.osaka-c.ed.jp/sog/kankoubutu19/kenkyuu19/pdfs/03/08.pdf 
これでもう一度お願いします

何しろＦ３とＦ３’はゼロなのだから　＜水平方向に力は掛かってない

３８ページの図４矢羽と支持棒との接続部
参照願います

Answer

回答(4)のご指摘のように
F4' + F4 = -Ry7
F2' + F2 = -Ry8
が正しいです。

また、この構造の解析には
上下の主・複さおは弾性はりと考える
と考えてたわみを許す考え方は「なじまない」と思います。
δは発生しないと考えて解析すべき事案だと思います。

現実には…、と仰るのなら前提が別ですが。

Rx7, Rx8の大きさに差があるのは、[1]と[14]の長さの違いから
来ていると思います。
回答(2)のご提案のように、長さ比を極端に変えて、
例えば、
[1] = 1
[14] = 10000
等と試してみて傾向を確認してみることを勧めます。

Answer

回答（3）さん鋭い勘！
＞F1' = F1 - Rx8
＞F3' = F3 - Rx7

F1' - (F1 - Rx8)=1x10^-6
F3' - (F3 - Rx7)=7x10^-6
これは三角関数の計算誤差じゃあなかろか？
http://pc.nikkeibp.co.jp/pc21/special/gosa/eg4.shtml
有効数字７桁

↓は
＞F4' + F5' = -Ry7
＞F2' + F2' = -Ry8

↓の誤記か？
F4' + F4 = -Ry7
F2' + F2 = -Ry8

＞↓のアルミブロックから削り出した形状のものですよね？上から二枚目のネ
じゃあなくて一番上の昔の天秤ハカリの写真
写真じゃあ見えないが内部構造はロバーバルになってると推定
そのロバーバルの寸法と上部の皿の寸法の比率は１：２０くらいかなと

今更ですがロバーバルの原理
http://www.an.shimadzu.co.jp/balance/hiroba/bean/bean05.htm
上皿天秤のサラのどこに試料があっても、その場所から発生するトルクは消される

で、先に上げたサオバカリも上皿なのでロバーバル機構になってると推定
http://www.ishida.co.jp/rekishikan/gijyutu/rov.html
写真か見える寸法からするとロバーバル機構のリンク支点間距離は
サラの外寸の１／２０程度でないと収まらないのではないか？

>↑のも確かに皿のようなモノは見えるが、やはり「桿ばかり」だと思うよ
>左側のぶら下がっているものに豚の足の形状の錘(中央部)を載せる筈です
その通りではある
だが、しかーし　上に皿が付いてる
下に皿がぶら下がる構造ならロバーバルにする必要は無い
でも上に皿が付いてるので支点の構造はロバーバルになってると思う
ロバーバルでなければ皿の中心に試料の重心を合わせなければならない

>それよりも「アルミ合金でできた起歪体」がバローバル機構になる方が不思議
どーでも良いけれど
「バローバル」って誤記にしちゃあ毎回書いてるけど
何かのダジャレとか？意味あるの？

それは置いといて
四角に加工されたアルミがロバーバルになってるかですが
恐らく、圧力を受けた四角形が変形したとして
その変位量がミクロン単位だからでしょう

>「高感度上皿天びん」の外形図から精々200：100の平行四辺形であろうから
比率で問題となるのは水平リンク長と皿半径
ＨＳ－２を例にすれば
Ｗ＝４００
皿径＝１６０
リンク長は記載されていないが
４００－１６０＝２４０と推定可能

この状態でロバーバルになっていないとすると
２４０／２＝１２０
１２０＋８０＝２００
１２０－８０＝４０

つまりトルク比＝２００／４０＝５倍
と、なると思う

ロバーバル機構の解析と証明