二等辺三角形の重心位置に関して、

Question

径が大きく、高さがあまりない、円柱のGD2や回転の減衰エネルギーを、設計の経験が
あまりない新入社員クラスに説明することになりました。
ですから、数学や物理的に説明をすることとしました。

先ず、円の回転時の重心半径は、半径×2/3。
これは、二等辺三角形の集まりが近似値円で、二等辺三角形の重心は、高さ×1/3にある
からのものです。

２×（半径×2/3）×πが円重心の円周で、それが何回転かで、その速度が求まります。
円柱の重量とその重心位置の速度が判れば、エネルギー算出は可能です。

そこまでは、ストリーが描けたのですが、一つ疑問が出ました。

それは、二等辺三角形の重心は、高さの1/3にある点です。

ある二等辺三角形の高さをH1とし、底辺長さをL1とします。
その下に真ん中を上下を反転させた３つの同じ二等辺三角形を並べます。
またその下に同様に、５つの同じ二等辺三角形を並べます。
そして、底辺が（３×L1）で、高さが（３×H1）のある二等辺三角形と相似形を作ります。

二段目までの三角形面積は、底辺が（２×L1）で、高さが（２×H1）なので、
1/2×2L1×2H1の計算式から、2L1･H1となります。
三段目の台形となる面積は、上辺が（２×L1）で、下辺が（３×L1）で、高さが（H1）
なので、1/2×(2L1＋3L1)×H1の計算式から、5/2L1･H1となります。

あれれ、二段目までの三角形面積 ＝ 三段目の台形となる面積　とならない。
何故でしょうか？

Accepted Answer

お問い合わせの主旨は、次の通りと思います。
　　
　　　　　△
　　　　△▽△　
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小さな二等辺三角形９個で構成される大きな二等辺三角形を考えたとき、
重心位置から上の二等辺三角形の面積は、小さな二等辺三角形の４倍
重心位置から下の台形の面積は、小さな二等辺三角形の５倍
重心を挟む面積が等しくないが、これで正しいか？

結論は、「正しい」と思います。

重心位置から上の二等辺三角形の重心の位置は、2×H1の1/3であって 2/3×H1
重心位置から下の台形の重心の位置は、参考URLの公式で求めて　8/15×H1

大きな二等辺三角形の重心を起点として考えたとき、
重心位置から上の二等辺三角形のモーメント荷重は、４×2/3×H1＝8/3×H1
重心位置から下の台形モーメント荷重は、５×8/15×H1＝8/3×H1

モーメント荷重が釣り合いますから、大きな二等辺三角形を重心で支えれば
バランスがとれることが説明できます。

余計なお世話かもしれませんが、
円板を径方向に分割して、2等辺三角形の集合体として捉え、
その重心位置に質量が集中していると仮定して慣性モーメントを求めると
慣性モーメント：Ｊ＝4/9×ｍ×Ｒ^2　という結果になります。

正しく積分した場合
慣性モーメント：Ｊ＝1/2×ｍ×Ｒ^2　　です。

ここでも「ズレ」が生じます。

Ｒ：円板の半径(m)
ｍ：円板の質量(kg)
Ｊ：慣性モーメント（kg･m^2)

誤：円板を径方向に分割して、2等辺三角形の集合体として
正：円板を周方向に分割して、2等辺三角形の集合体として

失礼致しました。上記の通り訂正させて下さい。

Answer

本件の三角形の重心のことは置いといて
イナーシャを説明するのに
新人には「公式は丸暗記せよ」でおしまい
http://home.catv.ne.jp/hh/toku/jdsgn/inertia/inertia.htm
http://fa-faq.mitsubishielectric.co.jp/faq/show/10544
http://sekkei.if.land.to/item_kaiten_gaiyou.html
https://nippon.zaidan.info/seikabutsu/2005/00130/contents/0027.htm

F=maとかニュートン力学の成り立ちまで説明しようとすると無理が生じてくる
そもそもそんな時間は無いハズだし

二等辺三角形の重心位置と円柱の回転エネルギー