曲げた鉄板のたわみについて

Question

半円に曲げた鉄板（SS400）の自重たわみについて教えて下さい。
板厚75mm、外形φ4500に曲げた鉄板があります。
この鉄板をRを下側にして置いた場合、自重によるたわみで
お椀状の上部が何ミリ広がるかを知りたいです。
たわみゼロなら当然4500mmです。
答えと計算式、分かれば教えて下さい。

Accepted Answer

回答（５）の云い分も一利あるので、小生の昔やっていた近似値計算を紹介します。

? 【仕様】板厚；75mm、外径；φ4500mm、長さ；1000mm（仮）　⇒　重量；2094kgf（仮）

? 計算方法；等分布荷重が加わる片持梁の場合
 　　　　　　面積モーメント法にて、曲がり梁の近似値計算方法

? 等分布荷重が加わる片持梁計算処理　“回答（２）の ohkawa さんと同じ手法”
　φ4500×π×1/2×1/2＝3534mm
　1/8×{（75×3534×1000×7.9÷10^6）×3534^3}÷{(21000)×(1/12×1000×75^3)}＝15.6mm
　では、面積モーメント法の原則に反するので、修正する（誤差も大きくなるので）

? 腕を2250mm(φ4500×1/2)にて、等分布荷重が加わる片持梁計算＋面積モーメント法処理
　1/8×{（75×2250×1000×7.9÷10^6）×2250^3}÷{(21000)×(1/12×1000×75^3)}＝2.57mm
　が、腕を2250mm(φ4500×1/2)にて、等分布荷重が加わる片持梁計算の解
　でも、実際は半円で、等分布荷重ではないから、曲げモーメントB.M.D.は、以下の近似値計算
　3534mm×75mmの等分布(長方形)→2250mm×（75mm＋161mm）×1/2の先太り台形板厚
　なので、2250mm×75mmの等分布と、中央に760kgfが加わる片持ち梁の合成で考える
　その曲げモーメント図の面積は、
　前者は、{(2097－760)kgf×2250mm}×2250mm×2250mm/6＝2.54×10^12kgf･mm^3であり、
　後者は、{(760kgf×2250mm/2×2250mm/2/2)×(2250mm－1/3×2250mm/2)
　＝9.02×10^11kgf･mm^3ある
　面積モーメント法は、曲げモーメント図の面積をＥＩ(曲げこわさ)で割ったものだから、
　前者は、2.54×10^12kgf･mm^3÷21000kgf/mm^2÷(1/12×1000×75^3)mm^4＝3.44mm
　後者は、9.02×10^11kgf･mm^3÷21000kgf/mm^2÷(1/12×1000×75^3)mm^4＝1.22mm
　以上を合計すると、3.44mm＋1.22mm＝4.66mm
　本来は、これが45°傾斜部での動作なので、√2倍し(4.66mm×√2)＝6.59mm

この結果から、本来は片持梁が先に行く程ＥＩ(曲げこわさ)が増し、撓みが減るが、
　　45°下への下がり変化で且つお椀（孤）の反り変化なので、6.6mm～7.0mm程度片広がり
　（13.2mm～14.0mm）＋4500mm幅だろう（近似値計算値）

面積モーメント法は、教本にて詳細を確認した方がよいです。
流石に、これを新たに説明は、無理です。

また、微分＆積分を極力使用しない近似値計算方法は、以前誹謗中傷されましたので、
控えておりました。（角パイプ筐体のねじれ量計算にてありました）
一般的でない面積モーメント法と、孤の45°逆反りの経験値が入っていますので、
難解でしょうが、大昔はこんな事もやっていたと考えてください。

Answer

曲がり梁のたわみ計算っという文献というか手計算は見たことがない。
せいぜい私が手計算したときは応力計算をしただけであった。

言うだけタダかもしれない you　は相変わらず困ったものである。。。
その点、回答（2)ohkawa氏は質問者と共に解こうとする情熱と愛を感じる。
私もその概略近似計算は遠く外れてはいない気がしますけどね？・・・

＞円筒を複数に分割して、傾斜梁として撓みを求めて、全体を合成すれば
難しい公式を探さなくても、基本公式と手計算（表計算）とで撓みは
求まりそうです。・・・鋭いです。FEMでも同じような解法をします。
時間があって長手方向の提示があれば手計算でもできるかも知れないが。。
その労力と計算の煩雑さとミスを恐れるなら初めからマシーンを使うかな。

FEMで解析してみました。。。経験からいってもいい感じがする(ここ大事）。
75x150と仮定した(75x1500でも変わらない）→↓回答図を参照のこと
左右の変位が異なったので中心部をリジッドにして拘束してみましたが自重を
付加するのがイマイチ上手く行かなかったので幾分か小さ目かも知れません。

最後に、1/10 modelとかで試験するなり、PC計算と整合性をとっておきたい。
そういう意味からしてもCAEでの回答の変位は恐ろしく大きいように思えます

Answer

再出です。

> ３Ｄにて解析すると答え数値が出るのはわかりますが、計算方法が特に知りたいためです。
> お分かりになるのであれば教えて下さい。

なので、理屈は以下URLを確認ください。

また、
> 半円筒状2枚を溶接で継ぎ足して円筒にします。
> 樋形状の広がった部分を上にして置いているので、現在はタワミで広がっています。
なら、熱を加えて、曲げアール矯正し溶接したら如何でしょうか？
向きを変え、応力が除去されたら、今度は狭くまりますよ。
溶接時、上椀と下椀の淵が合わないなら、つっか棒等で、自重で拡がった下椀の淵を
狭い方向に矯正し、溶接した方がよろしいでしょう。

曲げアール矯正は、先日“世界が驚いた→ニッポン！ 『スゴ～イデスネ!!視察団』”で、
常石造船の曲げの技術が紹介されましたが、技術は要りますが、有効な手段です。
URLから、有料の再放送等を確認してみてください。

微小曲がり梁の積算となり、計算が面倒です。

CAD等のCAE解析での比較が賢明です。

Answer

最近はCAEにどっぷり浸かり、手計算をしていないのですが、参考URLは計算の理屈を示していると思います。
これらの式は私自身検証しておりませんので、もし違ったらご容赦ください。

ちなみにCAEの結果は幅方向に約３００ｍｍ（半円の幅４８００）、高さ方向に約１００ｍｍ変形となりました。

失礼しました。
モデルの直径φ４５００のところを、半径Ｒ４５００でモデリングしておりました。
再度φ４５００のモデルで計算したところ、約２０ｍｍほどの開きとなりました。
不確かな情報を出して申し訳ありませんでした。

Answer

＞お椀状の上部が何ミリ広がるか

言葉のあやで恐縮ですが、お椀状とお問い合わせの形状は、
雨樋のような半円筒状なのでしょうか、お椀のような半球状なのでしょうか。

外径φ4500の半円筒であれば、展開長は7000mmほどですね。
対称形なので、中心軸から半分だけを考慮して、長さ3500mmの直線状の
片持ち梁と考えてみます。（かなり強引な単純化ですが・・・）
厚さ75mm及び鋼の比重、ヤング率などを、梁の公式に代入すると、
自重による先端の撓みは、15mm弱と求まります。

実際には、半円筒状に巻いてあるのだから、撓みは下方向ではなく、
上部が水平方向に広がる方向に撓むことになります。
また、巻いてあることによって、片持ち梁の実効的長さは短くなるので
部材に加わる曲げモーメントは直線状と仮定した場合より減少します。
従って、上部が水平方向に広がる撓みは15mmより何割か小さい値になる
と推定します。

上の値は、中心軸からの半分について求めた値ですから、中心軸を挟む
全体の広がり（撓み）は、15mmの2倍の30mmより何割か小さな値となる
ように推定します。

円筒を複数に分割して、傾斜梁として撓みを求めて、全体を合成すれば
難しい公式を探さなくても、基本公式と手計算（表計算）とで撓みは
求まりそうです。

Answer

3D-CADか、2D-CADでも上位機種なら確認が可能です。

大型船舶か、戦車でも検討されるのでしょうか？

外径；φ4500mmの半円、簡易計算ソフトが見つかるかな？

設計の友達か、知り合いの設計会社に、仕事を出すので、サービスでCADシミュレーション

をしてと頼むかです。（サービスとは、仕事の見積りにONして出す意味の隠語です）

曲げた鉄板の自重たわみについて