パソコンが立ち上がらない

「カチッカチッといったモーターが引っかかるような音？」
HDDのヘッドがシークして読み込みを探しているが見つからない場合にそのような音がします。
まあその音がHDDであった場合、完全にHDDは壊れていますし、中のデーターは救出はほぼ不可能です、莫大な金額を払って、ダメ元で専門業差で修復してもらえば一部のデーターが救出できる可能性はゼロではありませんが、まあゲーミングPCが1台買えるくらいの費用になると思います。
無論初期化なんてできません、壊れていますから。
まずはPCからHDDを取り外し、USBアダプタを使い別のPCに接続して、HDDの中のファイルが読めるか確認しましょう、、だめだったらHDDは昇天しています、から中のデーターやプログラムも消えています。
まあHDDは壊れる前に、動作が非常に遅くなるなどの兆候はでますが、その後短期間で突然壊れます。
HDDが読めることをお祈りしています。
HDDの寿命（MTBF)はHDDの温度２０℃で２．５インチ（ノート用）は5万時間位いです、そして物理法則アレニウスの２乗法則により温度が１０℃上がるごとに寿命は半分になります、３０℃で1/2，40℃で1/4、50℃で1/8、60℃で1/16夏場のノート内部なら60℃位になります、年平均して1/10位内なるでしょうから、5万時間ですから、温度を考えると5000時間という事になります。
Core i第4世代ですから現在13世代ですから約9年前で、よく使っていたのならHDDはよく動いていた方だと思います、安全性を考えると普通3年位でHDDは交換します、5年位で壊れたという話はよく聞きます、9年は随分持ったほうだと思いますが？。

＞富士通のLIFEBOOK A574/Hという製品です。
ってコレ？
https://jp.fujitsu.com/platform/pc/product/lifebook/1404/a574h_a553h/spec.html

だとしたら、2013年10月モデルなんで、どこが壊れていても不思議じゃないのが現実。

＞充電はできます。
の根拠は？
バッテリーを新品に交換しているの？
インジケーターで分かるのは「電気が通っている（らしい）」だけ。
経年でバッテリー容量が著しく低下して、”見た目だけ”満充電ってオチの予感(^-^;

＞電源ボタンは点滅します。
「何らかのトラブルによる起動エラー」ってコトが分かるくらい・・・

＞ボタンを押したあとカチッカチッといったモーターが引っかかるような音？がします。
ハードディスクが、電力不足でスピンアップできないのか？、物理的に故障したのか？

既回答者諸氏のアドバイスを実行しても改善しないときは、ハードディスクを取り出して、専門業者にサルベージを依頼することになるけど、業者も玉石混交というか、経費だけでも数万円から数十万円以上と大きな開くがある。
データサルベージは電源を入れる度に成功の確率が下がるモノ。自分で弄ったり、下手な業者に任せたりした挙げ句、データ消失・再起不能なんて話しも不通にある。

＞中のデーターはバックアップ取ってないので初期化はない方法でお願いします。
昔からいえあれている格言
　バックアップを取っていないデータは、所詮、その程度のモノ
のとおり、
＞解決方法をお聞かせください。
「素直に諦める」。

まず、以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？

https://itojisan.xyz/trouble/26474/

・バッテリーを抜き、直接電源とPCを接続して立ち上がるかどうか試す
・CMOSクリアをしてみる

具体的に「電源が入らない」だけではなくて、モニタの表示はどうなのか、ランプの点灯具合はどうなのか、ファンやHDDの動作音はどうなのか、ロゴは立ち上がるのかなど補足されると良いかもしれませんね。

ノートパソコンでしたら、機種によっては背面にリセットボタンがありますので、それを押してみてはいかがでしょうか？
電源ボタンを押しながらF2を押し続けると起動したりする機種もあります。
色々お試しになられても改善しないようであれば、残念ですが、修理を要する案件かと存じます。

https://jp.fujitsu.com/platform/pc/product/lifebook/1404/a574h_a553h/spec.html
こちらですね。
ストレージがHDDの場合はそこから「カチッカチッ」と音がしている可能性があります。それだとHDDの故障の疑いも出てきます。そうなるOS起動は難しいかと。HDDを交換する必要があるかと。

>中のデーターはバックアップ取ってないので
>初期化はない方法でお願いします。
内蔵のHDDを一旦取り出して別のPCに繋いでデータを取り出すとかって必要があるかも知れません…

・AC電源プラグは差したまま放置だったのでしょうか？
その場合は、バッテリーとAC電源プラグを外し、しばらくそのまま放置し、放電をすれば起動することもあります。

・強制的に再起動 黒い画面から動かない状態で再起動する手段は電源ボタンを10秒以上、押し続けることで、PCを強制終了させることが可能です。
電源ランプが消灯したら電源がオフになった合図になるので、再度電源ボタンを押すと電源が入るので、この手順を何度か繰り返して画面の表示に変化があるか様子見をして下さい。

・キーボードの「F1」キーを押してWindows を通常起動する。

参照：https://qlick.co.jp/pc-repaire/9228