画面を閉じずにメールを確認する方法

予約サイトを開いたブラウザは、最大化しないでおく
タスクバーのブラウザを、キーボードのShiftキーを、押したままクリックする。
ブラウザがもう一つ開くので、メールを開いて、番号をコピー
予約サイトに、貼り付け

予め、メールも開いておいて、メールのタブを、ドラッグ（左ボタンを押したまま移動させる）すれば、メールのブラウザが別窓で開くから、そこで、コピーすればいいと思います。

要は、予約と、メールのブラウザを別窓で開けばいいんじゃないですか？

一般的にはスマホでメールを開いて番号を確認します。
スマホ等の別のデバイスをお持ちでなければ分かりません。（ 想定外 ）

失礼しました！

ご質問者様の状況や背景、使用のブラウザやOSなど情報が不足しすぎて何からお伝えすれば良いのか困難を極めておりますが、
最小化や新しいタブで対応してみてはいかがでしょうか？

https://cs.sharp.co.jp/faq/qa?qid=108009

https://azby.fmworld.net/lesson/shortcuts-list/011/

WEBメールでしたら、予約サイト(ホットペッパー)の画面を閉じずに、Edgeを新しく起動してみて下さい。
その他のメーラーをお使いでしたら、予約サイト(ホットペッパー)の画面を閉じずに、そのメーラーを開いてみて下さい。

出来れば使用しているPCの型番を書きましょう。
また使用しているブラウザについても。

普通はブラウザで作業しているならブラウザを閉じないで
右上にある最小化のボタンをクリックしてメールソフトなどを起動して番号を確認してブラウザに戻って入力で行けるとは思うのですが…

[Windows 10] 2つ以上のアプリを並べて表示する方法を教えてください。
https://www.fmworld.net/cs/azbyclub/qanavi/jsp/qacontents.jsp?PID=0310-8284
みたいにするような手もありますが。

あとはメールの確認をスマホなどで別の機器で行って番号を確認してPCで入力するとかでしょうか…