再びバックアップに付いて

問題は
外付けHDを認識してもらえません
コッチでしょ

常時接続であれ　そのつど電源入れるのであれ
認識すればOKでしない場合は別問題です

立ち上げ前に電源入れてたって
OSドライブ探すのに時間がちょっとかかるくらいで
立ち上がらない　認識しないって事は無いでしょう
キチンとしたいならすでに回答がある通りBIOSで設定

立ち上げてから認識しないなら
取説読むか再質問して下さい

> 次回は操作の最初から外付けＨＤを接続状態でＰＣを立ち上げて「まるごとバックアップ」
> 実施してみようと思いますが…　如何なものでしょう？。

試行することは良いことですが、ここでパソコンのことを少しだけ理解したうえで理論的なことをやって欲しいのです。

ご存知だとは思いますが、パソコンの電源を入れると、最初にBIOS(Basic Input-Output System)に制御を渡します。
BIOSは、起動順位の高い方から、起動しようと試みます。
この起動順位が問題なのです。
今回の場合、
USB接続外付けHDDがトップになっていれば、ここから起動を試みようとします。
しかし、起動できるようにはUSB接続外付けHDDを作っていません。
起動に失敗します。
通常USB接続デバイスは、「プラグインプレイ」と言われ、挿したらすぐに使えると言った意味なのですが、それが機能しないと言うことのようです。
ではなぜ機能しないのかは、個々に調査していかないと分からないのですが、
一般には、USBをいくつもつなげられるソケットを利用していないか、といったことが問題になります。
パソコンについているUSBソケットに直に接続してみたり、別ソケットに変えてみたりします。

どうしてもだめな場合は、BIOSに入り、起動順位を内蔵HDDより、後ろにUSB接続外付けHDDを位置付けして、外付けHDDの電源も入れておくとできると思います。
以上のことを理解したうえで試してください。
BIOSの入り方は、メーカにより異なりますが、通常は、電源を入れると同時に、「F2」キーを、トントントンと連打すると入れます。

　一般常識ですが、周辺機器の電源を入れてから、パソコンを起動させるのが常識です。逆にすると、認識出来ない場合があります。外付けＨＤＤも同じはずです。

　ＵＳＢ接続が認識出来ない原因に関しては、以下のリンクを参照してください。