パソコンを立上げたままテレビをみる

＞富士通のB6FJ-9691って取説に書いてあるので、これだと思います。

それは取説の製品コードみたいなのでお使いのパソコンを特定できませんが
富士通のESPRIMOシリーズなら「クイックテレビ」機能が搭載された機種があるので
それでテレビを起動してませんか？
クイックテレビはパソコンを起動せずにテレビを見る機能です。
それだと電源を切れば真っ暗です。パソコンが起動していませんので。
クイックテレビからDigitalTVboxに切り替えると
裏でWindowsが起動してパソコンの視聴アプリに引き継がれます。

私の家ではパソコンモニタとテレビ受像器は別々なので、パソコンのオンオフに関係なくテレビを視聴できますよ。質問者さんのご家庭でそうなっていないのなら、その様に変えるのも一案だと思いますよ、
また、それをしないで解決したいのなら、今どの様なパソコンを使っているのか詳しく書かないと回答は難しいです。おわかりですか？

テレビとパソコンって別のもの。
よってテレビとパソコンがリンクするわけがありません。

テレビの設計開発を行っている会社なら、仕事が出来ませんよ
よってありえない


パソコンモニターとしてテレビ画面を使っている場合などは別の可能性があります
その場合は、接続方法などを記載してください

誰も、あなたが使われているパソコンは、判りませんよ。メーカー名と機種名くらいは書かないと。