充電ができない

ひょっとして、ACアダプタを抜いた状態で1か月放置しませんでしたか？
一か月ほどではなくても、十分な充電がされていなかったとしたら、もっと早くダメになります。

過放電となると二度と充電できなくなる可能性があります。

富士通のノートパソコンは電池を充電した儘で電池を使用せずに、電源に接続した電源を使用してパソコンを動かせております。
ので充電をした儘で電源を抜くとと書いておられますが、電池の充電が0%なのにコンセントの電源を抜くと電源事態が切れますのでPCはおちます。
電池の故障かもしれませんが？、一度これをして看るのも良いかもですね？。
電源を電気コンセントに差し込んでパソコンを起動します。
スタート→すべてのプログラム→バッテリーユーティリティ→バッテリーの設定。
「満充電の設定」か「８０％充電の設定」かのどちらかが表示されます。
「変更ボタン」が表示されますので、一旦は１００％充電にして、パソコンを使ってください。
普通ですと充電していますと表示される様になって充電されます。
一発では行かないかもですので何回かしてください。
若しも充電が始まれば「１００％」から電源を切って、容量が減って「８１％」になれば、上記の方法で「８０％充電の設定」に変更してください。
パソコンの電源は常時つけて（通電）して使用して下さい。
これで治らない時はバッテリーの不良か回路の不良ですね。

充電池そのものが死んでいる可能性が高いです。
普通この手のノートパソコンにはリチウムイオン電池が使われています。

リチウムイオン電池はその特性上、過放電（電池が空になったままにしておく）と不安定になり、発熱や発火などする可能性があるため、電池残量が空より下（つまり普通に表示で出てくる0％から更に少し下の容量）にまででん量化落ちたときに、自滅回路が働き、充電池としての機能を働かないようにするような保護回路が組み込まれています。

一度その回路が働いてしまうと、二度と充電することができなくなります。（端子に直接過度の電流を与えて復活させるという荒業もあるようですが、危険ですのでぜったいにやらないでください）

残念ながらその場合は電池を買い換えるしか無いでしょう。

本体側のコネクターをちゃんと差し込んでいない可能性が高いです。
アダプター自体が異常に熱いとかなければハード的要素はないと思われます。
購入後の最初の起動時に電源設定が表示されますが、何もしていなければ８０％省エネ
とかになっていると思います。
コンパネの電源オプションで確認した方が良いと思います。（詳細設定値を）

電源アダプターの故障ではないでしょうか？
または、バッテリーの故障が疑われます。

電源アダプター接続時にはパソコンが起動するとのことですので、
バッテリーの故障だと思います。

違ったらごめんなさい。