ノートＰＣの故障についてお尋ねします

ハードウェアの故障のようですね。
BIOS起動してハードのチェックでエラーになり停止している感じです。
ANo.1さんが回答されていますが、HDDの中身のバックアップを取る算段をしてから修理に出すことをお勧めします。
参考
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1228486127

筐体背面に搭載されているバッテリを外して電源を入れるとどうなりますか？
それで正常に起動するなら、バッテリの摩耗による不具合です。バッテリを買い換えるか、バッテリを外して運用すると良いでしょう。これなら、長く使えば3年で2/125ぐらいの確率であります。

BIOS（UEFI）のFUJITSUロゴが出ない場合で、何らかのビープ音が鳴る場合は、修理サポートへ。
何も画面に表示されない場合は、ディスプレイと本体の結線不良（修理サポートへ）ですが、電源が切れることから考えると、マザーボード上に電源遮断せざる終えない深刻な問題があります。

Windowsのロゴが出る場合は、ソフトウェア的なトラブル。リカバリディスク（DVDやBD、CDを用いて自分で作成）を作成されておられるなら、トラブル解消ディスクを用いてシステムのエラーを確認しましょう。

以上ぐらいかな？予想できるのはこのぐらいです。ただ、電源が勝手に切れるのは、コンデンサの不具合や、電源の接触不良などメインとなるマザーボードに何らかのトラブルがあるか、入力電源（DC側やAC側）に問題があります。よって、まず調べる（とりあえず外してAC電源運用する）はバッテリになるでしょう。

それ以外だと、後は、富士通のサポートと相談した方が早いかも知れません。

ノートPCは自力で修理をするのは困難です。
下手に開けるとメーカー保障対象外となります。
（封印されているネジを外さないと開かない。）
封印以外で開けられるのはメモリーの部分と出来てHDDの部分でしょう。

素直に修理に出すしかないと思います。

HDDが取り出せるなら、別のPCに接続して重要なデータをバックアップしておくことをお勧めします。修理に出すと、たいていの場合初期化されて帰ってきます。