バックアップデータの復元ができません。

きちんと元に戻すのがバックアップの仕事なんだから、それが出来ないのなら泣き寝入りせず何とかしろとメーカーに食い下がりましょう。
ここで引き下がったらバックアップソフトの意味が何もありません。
変に自分で弄くらずに、メーカーに一任するのがベストです。

> こんな場合、業者に頼むことによって、データを抽出して貰えるものでしょうか。

業者にもよります。
優れた業者は、基本から疑って対処するはずです。
よって、尋ねられたことだけをいかに正確に伝えるかです。
バックアップに使用したソフト名、そのバージョン等は、メモしておくと良いかも知れません。

今後、バックアップをする際は、こうした間違った理解で行わないことだと思います。
まず理解して欲しいことは、
イメージコピー(丸ごとコピーということもあります)と、単にコピーということの違いです。
イメージコピーは、ファイルの中のデータ内容を保証すると同時に、ファイルの管理情報もコピーするということです。
ファイルの管理情報というのは、ファイル名、ファイルサイズ、ファイル作成日、更新日、その他ファイルの管理情報も正しくコピーするということです。
よって、一般には、OSが入っているCパーティションに限り使用するものと理解しておいてください。

俗にコピーといわれるものは、ファイルの中のデータ内容を保証するという機能です。
よって、写真や、ワード、エクセル等で作成したファイルは、このコピーで十分であり、それ以上の管理情報まで保証しなくても良いのです。

こうしたことをまず理解しておいて欲しいと思います。
イメージコピーのことを、フィジカルコピー(Physical Copy)、物理コピーとも言います。
通常のコピーを、ロジカルコピー(Logical Copy)、論理コピーといいます。

HDDが新しくなってたのでバックアップをした時と今回の復元時点のシステム環境変わっていませんか？
例：非ＡＦＴのＨＤＤをＡＦＴのＨＤＤのに交換した。
１　修理元に何が変わったか確認して下さい。
２　ＰＣメーカーに問い合わせする。

>データを抽出して貰えるものでしょうか。どなたか教えてください。よろしくお願いします
結構厳しいかも知れません。外付けHDDの物理的・機械的な異常ならお金を掛ければデータを救い出せる可能性はあります。

http://www.logitec.co.jp/data_recovery/price/
上記のページがどの位費用が掛かるかの目安位にはなるかと思います。容量によりますが高が1万円から2万円の外付けHDDのデータ復旧に場合によっては10万円を超えるような費用を払うだけの価値があるか？考えることになるかも。そこまで掛けてでも救い出したいデータなら良いのですが。

厳しいとお答えしたいのは外付けHDD自体には何ら異常はなく簡単バックアップとか言うソフトでバックアップしたデータだけに異常がある場合です。ようはバックアップの作成に何らかの理由で失敗していてちゃんとバックアップが取れていなかったって事です。この手のソフトの場合は全部をひとまとめのファイルにしてしまっているので個別に救出とかが難しいのが現状です。

費用はがかかりますが、専門業者なら何とかしてくれると思います。