操作方法

WindowsキーとＸキーを同時に押すと、操作できるコマンド一覧が表示されます。
その中から、「シャットダウン・・・」をクリックしますと、再起動やシャットダウンなどを選択できるので、そこから操作してシャットダウンすることが出来るのではと考えます。

この問題は根が深いです。Windows 10 の始めの頃からあったのですが、まだ改善されていません。
私がこの問題に遭遇して、試した方法などをメモにしたものがありますので参考にしてください。
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■ スタートボタンをクリックしても反応せずスタートメニューが開かない、タスクバーの検索欄に入力できない、
　 タスクバーのアイコンをクリックしてもアプリが起動しない、アクションセンターが開かない、などの対処法
　 http://respondent.bbs.fc2.com/?act=reply&tid=6880915


(1) コマンドプロンプトを管理者として開きます。
　　・スタートボタンを右クリックすると[クイックアクセスメニュー]が開きますので、
　　　[コマンド プロンプト (管理者)(A)] をクリックします。

　　・スタートボタンの右クリックも反応してくれない場合は、
　　　タスクマネージャー経由でコマンドプロンプトを管理者として開きます。
　　　キーボードで Ctrl＋Shift を同時に押しながら Esc キーを押すとタスク マネージャーが開きます。
　　　その画?で [ファイル] → [新しいタスクの実?] とクリックします。
　　　[このタスクに管理者権限を付与して作成します] にチェックを?れます。
　　　開くの欄に cmd と??し、[OK] をクリックします。

(2) コマンドプロンプト画面のカーソルが点滅している場所に以下をコピーして(Ctrl＋C または右クリック）貼り
　　付け（ Ctrl＋V または右クリック）、Enter キーを押します。

　　dism /online /cleanup-image /restorehealth

　　これは非常に時間がかかります。
　　早くて30分くらい、長いと数時間以上かかりますので何もせず放置します。
　　「破損は見つかりませんでした、正常に修復されました、修復できませんでした」などのメッセージが表示され
　　たら終了です。

(3) 同じ画?に以下をコピーして貼り付け、Enter キーを押します。

　　sfc /scannow

　　これも非常に長い時間かかりますので、しばらく放置します。
　　「破損は見つかりませんでした、正常に修復されました、修復できませんでした」などのメッセージが表示され
　　たら終了です。

(4) さらに同じ画?に以下をコピーして貼り付け、Enter キーを押します。

　　powershell

(5) さらに以下をコピーして貼り付け、Enter キーを押します。

　　Get-AppXPackage -AllUsers |Where-Object {$_.InstallLocation -like "*SystemApps*"} | Foreach {Add-AppxPackage -DisableDevelopmentMode -Register "$($_.InstallLocation)\AppXManifest.xml"}

(6) 5.が終了したら、コマンドプロンプト画面の文字をキーボードの Ctrl＋A で全選択してコピーしメモ帳に貼り
　　付けて保存します。
　
(7) コマンドプロンプトの画面を、キーボードで exit と入力し Enter キーを押すかウィンドウの × をクリック
　　して閉じます。

(8) スタートボタンをクリックするなどして、問題が解決したか確認します。
　　解決していない場合は PC を再起をしてください。

(9) メモ帳に保存したコマンドプロンプトのログをレスに貼り付け、改善したか問題が残っているか状況を知らせて
　　ください。

参考にしたサイト
　　http://www.winxdvd.com/oshiete/powerful-window10-start-menu-not-display.htm

私の場合 dism では壊れていることは検出されず、sfc で破損が修復されスタートメニューが開くようになりました。
よって、(4)以降は試していません。

終了時に押すアイコンマークとは？
スタートボタンのことですか？