ＵＳＢメモリーがＰＣで認識されません

USB3.0も、USB2.0も互換性があるような記載もあるようですが、USBメモリ側のメーカや型番によってはダメなこともあるようです。
またパソコン側でも、メーカー、型番により互換性の問題があるようです。
今回の場合、USBメモリも、パソコン側のUSB端子もUSB3.0の仕様のため、USB3.0の専用のドライバを要求しているのかも知れません。
USBメモリを、USB2.0用のものに替えると、うまくいくと思います。
下位互換は保証すると思われます。

> このＵＳＢメモリーは他のＰＣでは通常に仕え、このＰＣにスマホをＵＳＢコードでつなげれば、データの交換を問題なくできます。

この記載では、USBメモリは、他のPCでは問題なし、このAH52/CのパソコンのUSB端子に、別なUSB機器を接続すれば、それは問題なく認識するのでAH52/CのUSB端子は問題ないという論法ですね。
しかし、ここでこの論法で「抜け」があるのをまず理解して欲しいです。
他のPCのWindowsは、8.1か、10ではないでしょうか。
AH52/CのWindowsは、7ではないのでしょうか。
また、
> ELECOM MF-HTU3 8ギガ
は、USB3.0対応ではないのでしょうか。
ここで大前提を理解して欲しいのは、Windows7は、USB3.0のドライバーを既定値では準備されていません。
その証拠は、
> デバイスマネージャーを見ると、「！」マーク付きで表示されています。
で、表示されていることです。
そこで提案です。
USB3.0のドライバを、Windows7用のものを入れてみることです。
下記のWEBへいくか、あるいは、ELECOMの製品に添付されている説明書を読むかで、
上記のことを理解し、Windows7用の、USB3.0ドライバの場所とダウンロードと、インストール方法を理解して対処してみることです。

ELECOMの該当製品のWEBページです。
http://www.elecom.co.jp/dl/mf-htu3/

あるいは、
Windows 7をUSB3.0のみのパソコンにインストールする方法(追記)
http://solomon-review.net/install-windows7-to-usb3-only-pc/

もし、こうした記載内容を全く理解できない場合は、諦めた方が無難です。
壊してしまう可能性もあるからです。

このＵＳＢメモリーは、セキュリティ情報で守られているが、ＰＣ（富士通AH52/C）にはそのセキュリティ用ソフトがインストールされているのでしょうか？

他のＰＣでは読めるというのは、他のＰＣにはそのセキュリティアプリが既にインストールされている何てことありませんか？

また、ＰＣ（富士通AH52/C）の基本デバイスは最新の富士通デバイスドライバーを更新済ですか？
＞差し込み時、「ソフトウェアのインストール」が自動的に開始・・・
という事ですが、その後、システムの再起動は行っているでしょうか。

システムの再起動後に Windows Updateを行うとどうなるのですか？
該当パソコンにはウイルスセキュリティがインストールされていますか？
　現状、ＵＳＢメモリー（ELECOM MF-HTU3 8ギガ）を使うための前提が準備されていないのではと推測します。
ＵＳＢ3.0に対応するポートをそのＰＣはサポートしているのですか？

いろいろな、条件が重なりますので、質問の記事だけでは解決の手助けはできません。

他のＰＣでは通常に使えるのならそのPCの問題ぽいですね
もうやってると思いますが他の端子に刺す

ダメ元で
コンパネ　デバイスマネージャー　
ユニバーサルシリアルバスコントローラー
こいつの不具合かもしれませんね

ハードウエア変更スキャンするか
思い切ってサクっと削除し
再起動すると拾ってきて正常に戻る場合がありますが
ヘタすると別のトラブルが発生するかもしれませんので
あくまでも自己責任で　どうぞ