32ビット、64ビットどちらか？

Pentium3ですので３２Bitです、６４Bit命令は無いので６４BitOSは使えません。
仮にインストールするにしてもWin7までです（BIOSを自作した場合）、Windows8、Win８.1，Win10だとDxBitやVt-ｘという機能が必要ですがこれはCore 2Duo以降のCPUでCore 2Duoでも半分くらいの下位の物はその機能がありません、その3世代前のCPUにそんな機能があるわけもありません、それ以外にもBIOSがVistaやWin7に対応していないので、ご自分で対応するようにBIOSを作ればWin7が動くはずですが、よほどのスキルが無いとBIOSのプログラミングは出来ないと思います。
CPUデータ
https://ark.intel.com/products/27382/Mobile-Intel-Pentium-III-Processor---M-1_20-GHz-512K-Cache-133-MHz-FSB

32bitしか使えません。
CPUがMobile PentiumIIIの1.2GHz（シングルコア）で
最大メモリが768MBまでしかないのでwindows XPまでが良いところです。
それ以上のwindowsは動作が遅くなるドライバーが無いなどの問題が出ます。
入れてもwindows7までが限界です。
それ以上（windows8～10）は動作に必要な必要最低スペックに届きません。

PentiumIIIの頃のパソコンをズルズルとバージョンアップする考えはないと思います。DOSをWindowsにしたり、98を2000にしたり、しかし3.1を95にするのは一部のユーザーでしょうし、xpからVistaにできるのもメモリの制約がない機種だったでしょうし、あのころの末端ユーザー向けのパソコンはその機種特有のOSに依存度がバリバリに高いです。

しかし、あのころのパソコンは1回だけバージョンアップできるのが特徴ですが、また素人にはリカバリやバックアップ以外にOSを交換できるすべがありません。

WindowsXPから64ビット版が出たのかも知れませんが、アプリとしては、今ですら32ビットのみがあります。アプリやハードの対応次第では64ビットですが、順を追っていくのならば、32ビットが正解です。


32ビット以外ありません。

https://www.inversenet.co.jp/pclist/product/FUJITSU-note/FMVNB12A.html
CPU自体は、「Mobile PentiumIII」と書いているので、32ビットではあります。
ただ、このようなメーカー製PCで、こんなに古いとドライバーが
まず、ありません。ＯＳが動いたとしても画面が出るかすらも怪しいです。
ＶＧＡモードという互換で、真ん中に小さくしかも超遅い表示で
表示されるのがやっとでしょうね。
もちろんついている各種デバイスも全て、動かないと思ったほうがいいかもです。
その上、メモリも、７６８ＭＢ制限があるような状態で、
2GB＝2048MBですら、少ないと感じるような時代にこのＰＣでは、
使えるＯＳは現実的に、元々入っていたＯＳが最後でしょうね。
しかも、今７６８ＭＢにしているという事実すらもないのですし。
今から手に入るようなメモリなのかも問題ですし、つけたところで768制限付で、
そもそも今からメモリに、お金を出す事に意味があるＰＣですらもありません。

質問の趣旨的に、Ｌｉｎｕｘを選択するような人がビット数なんて聞かないでしょうから、
Ｌｉｎｕｘなど他のＯＳという選択肢は、まずなさそうですし。

質問者さんのケースでは「廃棄」が一番正しい選択かもしれません。
または、ＸＰ時代のＰＣとして、コレクションか。

ともあれ、メーカー製ＰＣの場合は、ＯＳがどうのより、
メーカーがドライバーを出しているか？も確認してみると
いいと思いますよ。

CPUはペンティアムIIIのようだから、３２だけど、化石のようなもの

私も無駄だと思う。せいぜいやるなら、軽いLinux系でも載せ替えるか？