起動できない

基本ですが、中古のPCを購入を希望するのであれば、この様な起動できなくても自信で修復できるスキル・経験が必修になります。
　購入にあたっての注意点は、ＬＡＮ接続速度の上限が1000Mbpsに対応しているかや、内部バッテリーは新品に交換されているのか、内部システムディスクＣドライブが高速アクセスが可能なものであるのかなどです。
　中古だとしても格安の品物は、自己修復が出来ない場合はお薦めできません。

現状の回答側からの疑問点は、搭載RAM容量が4GBなのかという事と、内部システムディスクＣドライブの空き容量がどの程度残っているかです。これらの情報記載がありません。
新品なれば、製品の仕様に記載されているのでＷｅｂを検索すれば判りますが、中古の場合、果たしてどうなっているかは使用者または、購入者以外は判りません。

ノートパソコンを最初に使う場合、特に中古であるのならＡＣアダプタに接続して一晩充電してから、使用することも大切になります。
　バッテリーの充電量が不足していたり、満充電にならないなどあれば、バッテリーを新品のものに交換しておくべきです。

>中古でLIFEBOOK AH54/Hを買ったのですが急に映らなくなりました
症状を聞いてる限りは、ソフトよりはハードよりの問題な感じがあり、
だから中古に出された個体なのかもしれません。
返品などができるなら、別の機種などに交換するほうが
早いと思いますよ。
少なくとも中古なので、それ以外にもどんな問題が潜んでいるか
誰にも予想はできませんし

http://www.fmworld.net/fmv/pcpm1205/ah_p/
こちらのPCですね。プリインストールOSはWin7のようですがWin10にアップグレードされているのでしょうか？

Windows 10アップグレード情報
http://azby.fmworld.net/support/win/10/
をみるとわかりますがお使いのPCはメーカーとしてはWin10へのアップグレードをサポートしてないので注意を。

>時々つくのですがプツっと音がなって切れます。
それは電源が切れてしまうって事でしょうか？「プッ」って音からすると再起動してしまっているような感じもしますが。

まずはセーフモードで起動してセーフモードでも同じことが起こるか確認したりリカバリをしてプリインストールOSに戻しても同じことが起きるならPC本体に何か問題があるのだろうと思います。