HDDからSSDに換装時のトラブル発生

交換のSSDの総容量はHDDと同一の５００ＧＢでしょうか？

クーロンはどの様に作成したのでしょうか？
　この時の手順が悪かった可能性もあります。
　元のＨＤＤをパソコンに搭載し、外付けにＳＳＤ(512GB)を接続してＮＴＦＳフォーマットで初期化してから、クーロン作成ソフトで、クーロン化すれば、通常ディスク交換でＨＤＤを使用した時と同じ様に問題なく動作する筈です。
　もし、ＨＤＤよりＳＳＤの容量が小さいと、クーロン作成時に警告が表示されるはず。
その時の対応次第では、クーロンが正常に作成できません。
　また、ＳＳＤの空き容量とＨＤＤ時での空き(未使用)容量の差も注意が必要になる。

SSDの環境でLANカードのセットアップをデバイスマネージャーで確認して、IPアドレスを自動取得(DHCP)でipconfigなどで自機のIPが192.168.*.*になっててもブラウザでページが表示できないようなら、適当なブラウザを再インストールしてみて、それでもダメならOS再インストールでしょ。

>この問題の解決方法をお尋ねしています。
まずはネットに接続できない状態の原因を探るところからと思ったのですが。現状元のHDDで使用されておりSSDに再度交換となるとノートPCによっては結構換装するのも面倒だったりはしますね。

原因を探るのも面倒ならクローンに使うソフトを変えてみるとかUSB接続の有線LANアダプタを取り付けてそれでネットに接続できないか？試すとかでしょうか。

つまり、バッファローのルーターの方の問題であろうという事です。
設定方法が分からなければ、めんどくさいからリセットしちゃえば？
（そうすると、今度はネット側の設定が必要になるかな）
旧HDでルーターの設定画面に入り、どんなPCでも接続できるように制限などを外してやればと思います。

https://www.asus.com/jp/Laptops/K53U/
https://www.asus.com/jp/Laptops/K53U/specifications/
こちらのPCですか。Win10を動かすには少し荷が重い気がしないでもないですが…

>接続は「Buffalo－G－6BF8」経由で有線接続している。
バッファローの無線LANルーターを使っているのですね。書かれているもはSSID名なので出来ればルーターのちゃんとした型番も書きましょう。
最初の回答にも書きましたがデバイスマネージャーでPC内蔵の有線LANアダプタを認識しているか？バッファローの無線LANルーターからDHCPでIPアドレスを自動割り当てがちゃんとされているのか？

無線LAN親機(Wi-Fiルーター)の設定画面を表示する方法がわかりません
http://faq.buffalo.jp/app/answers/detail/a_id/129
あとはブラウザで「192.168.11.1」みたいに打ってルーターの設定画面が出るか？など確認した方が良いかも。ただIPアドレスはルーターによって異なる可能性があるので手元にあるルーターのマニュアルを読んでIPアドレスは確認しましょう。