お願いします。

いろいろと情報不足な部分が多く　私もプロバイダーメールや携帯メールは利用可能でG-mailだけ利用できないのか　全てできないのか疑問に感じる部分です

初めてのパソコン購入ではない？
この書き込みは購入したパソコンから？　スマホから？
ネット用回線のプロバイダーメールアドレスから同じメールアドレスに送った場合は？（デザリングの場合は携帯Eメールアドレス　受信タイミングで片方にしか入らない場合あり）

自分から自分宛に送ってみる
GメールはWebメールなので　パソコンから確認も可能です
https://support.google.com/mail/answer/8494?co=GENIE.Platform%3DDesktop&hl=ja

携帯のGメールに送れないって表現ですが、携帯キャリアのメールには送れるってことですか。それともGメールでしか試していないって意味ですか。
送れないとの判断は何を根拠にしていますか。送信後にエラーが返ってきたのか、いつまで経っても受信できないってことなのか。
そもそもですが、インターネットへの接続はできていますか。送信したメールは送信済みになっていますか。

あまりに情報が無さ過ぎなので、いろいろ書かせていただきました。

情報が少なくて、これだけでは回答できません
質問
１．セットアップしたとありますが、メールソフトのセットアップもされましたか？アカウントとかサーバーとかメールアドレスなど
２．メールを送ってみたようですが、具体的にどのような操作を行ったのか？操作毎に箇条書きにしてみてください
３．その結果どのような表示が出ましたか？

Gmailのアドレスに送れない」との判断は何が根拠ですか？
Gmailの「迷惑メール」ラベルには入っていないですか？

送信した自分のアドレスは、何を使って送信されているのか不明ですが、送信できないというエラーメールが返ってきたのでしたら、それに理由が書かれているはずです。