プロダクトキーの再入力

Office 2016に添付されているプロダクトキーは
Microsoftアカウントに登録する為の物です。

ディスクを使うプロダクトキーは別に有ります。
Microsoftアカウントのサイトに『デイスクイメージをダウンロード』
ボタンを押しそのページに有るプロダクトキーを使用します。

１ヶ月とか経ってから入れる
そもそもがMicrosoftaccountに登録されていれば全く問題なく再インストールし使えたのですが、未登録のようなので、アンインストールしてから修理に出すなどでない限り、一定時間経過しないとインストール出来ないと思います（恐らくはマザーボード交換などで、ハッシュコードが大幅に変わり別のPCと認識されている）つまり２重登録を防止するため、一定の期間経過すると前のPCでは使われないという判断になるのだと思います。

http://www.fmworld.net/fmv/etc/1811/a50c3wp.html
こちらのPCですか。確かに「Office Home & Business 2016」が付属したPCですね。


[Office 2016] デスクトップアプリ版をインストールする方法を教えてください。
https://www.fmworld.net/cs/azbyclub/qanavi/jsp/qacontents.jsp?PID=9611-2134&rid=282

ご購入時の状態では、Windows ユニバーサルアプリ版がインストールされています。
通常は、Windows ユニバーサルアプリ版をお使いください。

とあるように恐らくUWPアプリ版を使っているのだろうとは思います。
普通はWindowsにサインインする際にMicrosoftアカウントでサインインすれば良いはずです。尚、Office 2016の初回インストール時に使用したMicrosoftアカウントでサインインする必要があるとは思います。別のアカウントだとダメな可能性も。
あとは先の回答に書いたように
https://account.microsoft.com/
上記のURLでOffice 2016の初回インストール時に使用したMicrosoftアカウントでサインインすればプロダクトキー確認出来るはずです。

https://www.fmworld.net/cs/azbyclub/qanavi/jsp/qacontents.jsp?PID=2510-1496
に貼られている画像にも書かれていますが購入時についてきたOffice 2016冊子に書かれているプロダクトキーは「初回インストール時のみ使用」と書かれている用に初回にセットアップ時にMicrosoftアカウントと紐づけする為だけのキーになるので初回のセットアップ時以外では使えないプロダクトキーにはなります。
にOffice 2016をインストール時に使用したMicrosoftアカウント

出来ればお使いのPCの正確な型番を書きましょう。
PC本体の底面や背面に貼られたシールに記載があります。

[Office] プロダクトキー / プロダクトIDを確認する方法を教えてください。
https://www.fmworld.net/cs/azbyclub/qanavi/jsp/qacontents.jsp?PID=2510-1496
使用しているOfficeのバージョンが分かりませんがOffice 2016/2019及びOffice PremiumならMicrosoftアカウントと紐づけする形になり普通はプロダクトキーの入力は初回のインストール時のみです。
上記のURLにも書いていたりはしますが
https://account.microsoft.com/
に初回セットアップ時に入力したMicrosoftアカウントでサインインすればプロダクトキーを確認することは出来ます。そのプロダクトキーを入力すれば良いかも知れません。