イヤホンがパソコンの接続内部で折れてとれない

折れた部分が外から見えていて、素材がビニルや塩ビ系ではなく金属なら、針金状のものと瞬間接着剤で固めて引き抜くと言う方法があります。
突っ込む方の先端は、針状ではなく円盤状が接着する上では望ましいと思います。
金属の接着に強い接着剤であること、差し込み口の穴につかないようにすることなどを考慮して、粘度のある接着剤をお勧めします。
A・B液を混ぜて硬化させるエポキシ系でも良いかと思います。

通常、ジャック自体プラスチックで覆われていることが多いので、ジャックごと交換するしかないと思います。

メーカーに修理に出すと、基板ごと交換されてしまうのかな。

おそらく分解しないと無理でしょう。
イヤホンの穴から取り出すなんてことはできないと思います。
その穴に入るピンセットなんてありません、あっても折れた部品をつかめません。
磁石にくっつかない素材なので磁石で取れるなんてこともありません。
最悪、イヤホンのコネクタの交換なども必要になるので腕に自信が無いなら修理を頼んだ方が無難です。

強力な磁石があれば取り出せます。

分解に慣れているなら内側から押し出せないか試すのも良いですが、下手に開けると元に戻りません。プラグを差したまま力を加えたなら他にも問題があるかもしれません。その状態でスピーカーから音が出ないなら、見積もりを申し込んだ方が良いと思います。