Wi-Fiを変えた方が良いでしょうか？

同時接続台数が推奨4台の所に5台目を接続しようとしているからなのでは？
推奨っていうから、4台以上接続させられる可能性もありますが、上限が4台なら、5台目は繋がらないでしょうね。

スマホや他のパソコンを使っていなくても、電源が入っていて、Wi-Fiがオンになっていたら、それらの機器とルーターは接続している可能性が高いです。

スマホなどのWi-Fiをオフにしても繋がらないですか？

その場合、繋ぎたいパソコンとルーターへの機器の登録（それぞれの認証）は出来ていますか？

一言「繋がらない」といっても、登録されている（出来てはいる）けど通信してくれない、という場合と、5台目とルーターのリンク（登録＝認証）が出来ていない場合があるのでは？と考えられますが、俺はルーターを使ったことがないので、よくは分かりません。

最悪、俺が使っているのと同じピクセラのドングル（PIX-MT100）を買って使うというのも一つの選択肢です。

これはドコモ系のSIMカード（microSIM だったはず）を入れて、USB端子（3.0以上が好ましい）に挿してネットに繋ぐ機器です。

これはWi-Fiでの同時接続台数は、たしか・・・　８台くらいだったと思いますが、定かではありません。（記憶では８台だけど、7台だったかもしれないし、10台だったかもしれません。）

USBから給電されるので、Wi-Fiルーターみたいに電池は不要です。

百均で売っているUSB充電器をコンセントに挿して、そこに挿してパソコンやスマホをWi-Fiで繋いで使うこともできますし、パソコンのUSBに挿してパソコンをネットに繋ぐのはもちろん、同時にスマホをWi-Fiで接続して繋ぐことも可能です。

接続速度・容量は、SIM の契約によりますので、俺が契約しているような、1日115MBまでしか高速通信できない契約の場合は、基本的に低速通信で接続する事になりますので、この場合はパソコンで通信中はスマホからは中々繋がりません。（正確に言うと、スマホが優先的に繋がって、パソコンの通信が遅延してできなくなるという場合もあったりします。）
この辺はケースバイケースだと思いますが、基本的にどちらかを通信中は、もう一方は通信できません。

USB2.0 に挿して使った場合は、SIM 契約上高速通信できる契約をしていても、ネットからドングルまでは高速通信できても、ドングルからパソコンへの通信で遅延が生じて、体感的な通信速度が遅くなると考えられます。

また、スマホを外出先に持っていく場合は、SIM カードをスマホに差し替える必要があります。しかもカードの抜き差しは非常にしにくいです。

俺が契約しているOCN では、1回線で複数のSIM カードを発行して、各機器に入れて使える契約方法（なんちゃらシェア）もありますが、そのサービスを使う場合は、（たしか）月々300円の余計な支払いが増えます。

使う場合は、そのへん注意です。

使わない場合は、関係ない話ですけど・・・　（苦笑）

参考までに

ルーターとの設定は出来ていますか?
一応　Wi-Fiの同時使用は4台みたいですね
(設定は何台も出来ると思いますけど)
https://www.iodata.jp/product/network/wnlan/wn-g300r3/spec.htm
もう一度　ルーターの説明書を読み　設定すれば良いと思います
https://www.iodata.jp/lib/manual/wn-g300r3/index.html

自動的には繋がらないという事なら接続設定が必要という事では。パソコンとルーターのマニュアル参照。

私は、富士通の関係者ではありません。
この質問が、kawayui1105 さんの操作によって、富士通の質問サイトから、外部の質問サイトに接続されて、世界中のインターネットから、誰でも閲覧・投稿が出来る一般の質問サイトの「ＯＫ　ＷＡＶＥ」にも表示・公開されました。
私の回答は「ＯＫ　ＷＡＶＥ」からです。




＞　使っているWiFiが2.4GHz対応のものでした。(IO DATAのWN-G300R3というWi-Fiです)

このルータの仕様書を見ると、2.4GHz帯だけの記載ですね。5GHz帯の記載がありません。
https://www.iodata.jp/product/network/wnlan/wn-g300r3/spec.htm




＞　富士通FMV LIFEBOOK MH35

このMHシリーズの仕様書を見ると、WiFi無線の5GHz帯にも対応ですね。
無線LANの欄で、IEEE 802.11の準拠の「ac」が5GHz帯だけの対応。
「a/b/g/n」は、2.4GHzと、5GHzの両方に対応。
https://www.fmworld.net/fmv/mh/1907/spec/



＞　このWi-Fiは5年くらい前から使ってて、自分の携帯や家族の携帯、自宅のパソコンなど合わせて合計４台くらい、このWi-Fiに繋げています。

WiFi５無線LANルータの5GHz帯は、ここ数年の新しいWiFi無線の規格です。
前記のルータのURLでは、動作確認済みWi-Fi機器（2014年10月現在）となっていますから、kawayui1105さんが購入直後に5GHz帯のWiFi規格ができたのですね。



＞　もしかしたらWi-Fiが古かったり、色々なスマホやPCなどに繋がっていて電波が悪くなっているのかな、と思いました。
5GHzや、MU-MIMO対応などのWi-Fiに新しく変えた方が良いでしょうか？回答よろしくお願い致します。

他の、スマホなど４台くらいが正常の様ですから、ルータ機能は正常に働いていますね。
ただ、新しいWiFi無線の5GHzの規格に対応をしてだけです。
まあ、現在の2.4GHz帯が混んでいるなら、買い替えたほうがいいでしょう。

新しいPCのWiFiの設定の時、隣近所・各種WiFi・無料公衆WiFiなどのWiFi無線のESSIDが、バリ（電波の強さのマーク）が５本全部立っているのが、たくさん見えていれば、混んでいるということでしょう。
住んでいるところが、繁華街・住宅密集地なら、WiFi無線LANのバリ５本のESSIDはたくさん見えます。
過疎地・農山村魚村なら、１つも見えないか、１つくらいは見えてバリの表示は低いでしょう。

2.4きGHzが混んでいるから買い替えるかどうか、新しい5GHz対応のルータにするかは、kawayui1105さんの考えです。

LIFEBOOK MH35は、IEEE 802.11a/b/g/n/ac準拠ですので、2.4GHz
5GHzともに対応していると思います。
WN-G300R3は、IEEE 802.11nで2.4GHz対応です。
従って、問題は無いと思います。
無線LANに接続できる機器の台数は、推奨4台です。

おそらく、繋がらないのは、設定に問題があることと、PCがルーターから
遠く、電波が弱いのかもしれません。
確認して下さい。