outlook2013メール受信が1日遅れてくる

A.No4です。

＞クリックして解除します。
＞●なぜかできません

赤地に×のあるオフライン作業のリボンをワンクリックする度に、オンライン（ステータスバーの「オフライン作業中」が消えます）とオフライン（「オフライン作業中」がステータスバーに表示され、リボンのアイコンは空色の背景色）が切り替わりますが、それが機能していないのですか？

そうであれば、不具合ですから、修復や再インストールしてみるしかないでしょう。
（Office 2013で修復機能を利用する方法）
https://121ware.com/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=014700

＞●添付画像とは？

添付忘れをしたようですm(_ _)m

Ａ.No3です。

＞送受信をおしますと　受信がいつも処理中から完了にかわり、オフラインになります

最初からステータスバーに「×オフライン作業中」の表示はないですね？
表示されていたら、「送受信」タブの右端の「ユーザー設定」にある「オフライン作業」リボンが選択された状態ですから、クリックして解除します。

なお、「送受信」タブ「送受信グループ▼」→「送受信グループの定義」のチェック入れの設定は、添付画像と同じですね？

それでも同じでしたら、殆ど聞かない症状なので、Officeの更新チェック※でも行ってみるくらいしか思いつきません。
※「ファイル」→「Officeアカウント」→右側の「更新オプション▼」→「今すぐ更新」

ＡNo2です。

＞plala.or.jp.pst 4,456,329KB

archive.pstは「保存フォルダ」分ですから受信には関係ないですね。

plalaのアカウント分は、4.5GB程度ですから、基本的に容量的には関係なさそうです。
（OUTLOOKのpstファイルについて（やがて限界がくる））
https://www.elp.co.jp/staffblog/?p=6741

取り敢えず、pstファイルの修復を実行いてみましょう。
下記を参照して、Scanpst.exe ファイルを見つけて、ダブルクリックで修復できます。
（Outlook 個人用フォルダー ファイル (.pst) を修復する方法）
https://support.microsoft.com/ja-jp/help/272227/how-to-repair-your-outlook-personal-folder-file-pst

それでも改善しないのでしたら、困りました。
「新しいプロファイル」を作成して、同じアカウント設定を行い、受信状況を確認・検証してみるくらいです。
（Outlook のプロファイルの作成）
https://support.office.com/ja-jp/article/outlook-%E3%81%AE%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%BD%9C%E6%88%90-f544c1ba-3352-4b3b-be0b-8d42a540459d

＞受信トレイが25000通ほどあり

POPアカウントでの受信ですか？
そうであれば、Outlook.pstファイルにメールなどのデータを保存しているのですが、そのファイルの容量はいくらでしょうか？
pstファイルの肥大や断片化による関係もあるかも知れないので、確認してください。

pstファイルは、「ファイル」→「アカウント設定」→「アカウント設定（Ａ）」を開き、「データファイル」タブを開くとパスが表示されています。
通常は、ドキュメントフォルダの「outlookファイル」フォルダの中にあると思います。

受信トレイが25000通ほどあることが原因と思われます。できれば、全て削除することをお勧めします。保存したいメールは削除前に別のフォルダに保存できます。