メールの転送

メールのサービスを提供している事業者の情報を確認すると良いです。

メールは様々な事業者がサービスを提供しています。一般的にメールサーバーと呼ばれますが、このメールサーバーに転送の設定を行えば、パソコンの電源が入っていなくとも、自動的にメールは転送されます。(正確にはメールサーバー上の、転送さしたいメールアカウントの設定を変更します。)

以下はGmailの場合です。
https://support.google.com/mail/answer/10957?hl=ja

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例えば、ぷららなどのプロバイダー提供するメールアカウントも、メール転送に対応します。プロバイダー名と転送などをキーワードに検索すると、情報が見つかります。
ぷらら メール 転送
Gmail メール 転送
こんな感じです。

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転送先をスマホのメールアドレスにすることは可能ですが、大きな添付ファイル付きメールがくると受信できないことがあります。その場合、携帯会社からメールのエラーが返りますので、質問主さんのパソコンアドレスに送った人は「スマホに転送してるんだ」と知られてしまいます。

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私のおすすめは、Gmailのアドレスに転送する方法です。そのGmailのアカウントを、スマホからチェックします。

以上、参考にならなかったらごめんなさい。

スマホのメールに送るだけ

　
サンダーバードを使てるならこの方法
http://www.dennou.org/thb_tensou/

Ooutlookならこの方法
http://office-qa.com/Outlook/ol81.htm