ハイブリッド中古PC、起動せず困っています！

ソフト的な要因ではなく
多分、ハード（機械）的な
要因でしょう。

ただ、具体的にどこが
悪いとかではなく
起動しなければ
それまでですね。

完動品が欲しければ
中古ではなく
新品を買うしかないですね。

OS入れ直しだけに関しては、Windows 10の認証システムはハードウエア構成をユニークに識別するので、

ユーザーがマイクロソフト社のサイトからダウンロードしたWindows 10インストールファイルを使って、認証済みのハードウエアにWindows 10をクリーンインストールすると、シリアルキーの入力無しでインストールを終えても、

認証は自動で済みなるはずです。

CoreTM i5-2520M CPUのPCですね、Windows10にしたということですが、ドライバーなどはどのようにしたのでしょう？？
じつはCre i2000番台のチップセットやグラフィックドライバーはWindows10用は存在しません（インテルが作ってくれません）ので2018年位までのWindows10ではWindows8.1のドライバーで動いた場合もあるのですが、それ以降のWindows10では動かない、画面が表示できない等多くのトラブルが生じます、その解決方法は今までのドライバーを全て削除して、Windows標準ドライバーを使うしかありません。
また年数的や使用条件によりCPUグリスが枯渇して、熱伝導が出来ずCPUがオーバーヒート保護モードに入り動作が極端に遅くなります。
また2019年ころからWindows10ではそこそこメモリを積んでいないとメモリ不足になる場合があります、無難な容量は８GBと言われています。
私もCore i2000番台のPCを3台持っていますが、全てCore i7 2630QM(4CPU8TH)以上にしてメモリも8GBと16GBにし、全てSSDに変えています、無論熱伝導グリスの塗り替えや内部清掃は毎年行っています、Core i7-7560U同等の性能ですから通常使う分には遅くありません。
アンチウイルスはカスペルスキーの最新版を使っていますが不具合はありません。
なお複数のアンチウイルスを入れているようですが、不要になったものは完全に削除していますか？
私が知る限りでは、アンチウイルスに停止命令を与えて、アンインストール専用ソフトでアンインストールする方法です、専用が無いものは通常のアンインストールで行います。
正確なアドバイスをができればよいのですが、どんなことをやったのかっ文章から全くわからないのでこれ以上回答できません。
ちなみに別のPCでWondows10インストールUSBを作成して、ノートPCにブートUSBを刺し、BIOSからUSBブートにしてブートすれば完全にまっさらなWindows10がインストールできますが、ただHDDはかなりくたびれているので、セクタークラッシュが起きている（アチラコチラが壊れている）と思われます、ノート用のHDDはMTBFと言われる寿命で５万時間です、この係数はHDDの温度が20℃の場合で10度上がる毎に半分の寿命になります（アレニウスの二乗則）でありHDDの温度（内部温度です）は最高60度位になります。
ですから一般的ノートPCではHDDの寿命は3年から5年程度のところ9年も使用しています、私はだいたい3年間隔でHDDは交換しています。
ちなみにデスクトップの３．５インチHDDは50万時間、サーバー用なら150万時間まであります。しかしながらデスクトップでも10年くらいでHDDは寿命になります。
現在お使いのPCのHDDは継ぎ当て（パッチ）だらけ（おそらく数百箇所）の状態だと推測されます、そんな状態のHDDが早く動くことはありません。
そのまま使うならPCのメンテナンスとHDDの交換を考えるべきです、自分でできないならプロに頼むしかありません。

>6月末にavast!というセキュリティソフトの90日間無料お試しを始めたあたりから、起動が遅くなり、
>7月末頃からたびたびWindowsが起動しなくなりました。

原因はこれです
古いPCに無理やりWindows10を入れ、そこにavast!を入れたためにWindowsシステムの中で不整合が起こってる。

解決する方法は一つしかない
Windows10をクリーンインストールしなおす
そしてavast!は入れない

http://www.fmworld.net/biz/fmv/lifebook/1107/a561c/
こちらのPCですね。

法人向けPC Windows 10 動作確認情報（アップグレード情報）
http://www.fmworld.net/biz/fmv/windows10/info/


動作確認機種一覧にない機種については、動作確認情報、およびサポートの提供は行いません。

とあるようにお使いのPCは動作確認機種には記載がないのでこれに当てはまります。
どういう手順でWin10へアップグレード等されたのか？わからないので何とも言えません。
本来の手順ならPC購入後に作成したリカバリディスクでリカバリしてプリインストールOSに戻した上でWin10へ再度アップグレードって感じになります。
プリインストールOSに戻すためにリカバリディスクが中古で購入時に付属していない可能性が高そうなのでこの方法は使えないかも。

https://www.microsoft.com/ja-jp/software-download/windows10
からWin10のインストールメディアを作成してそちらからクリーンインストールするぐらいしかないかも。