メールのアドレスについて

プロバイダ変更や解約をしても、以前から使用しているメールアドレスは残すことができます。但し有料です
https://internet-connect.net/provider-mail/
今後,そのメールアドレスで重要な（仕事関係等)やりとりをするなら
有料で残すしか手はありません。
今後の事(又、プロバイダーを変更する可能性)を考えて重要なやりとりをするメールは他のメールに固定したほうが良いでしょう

どのようなメールアドレスを使っているかにもよります。他の回答にあるような状況であったり、プロバイダに関係なく独自のドメインを使用している場合などは使える場合があります。

しかし、「＠」以降が旧プロバイダからのドメインである場合、特別な契約やサービスで無い限り、新プロバイダではドメインが変わるのでそのまま使用することは難しいでしょう。新たに設定（取得）する必要があります。「＠」以前は自分で決められますので、新プロバイダでの使用は可能ですが、申請時点で同じ内容が他者に使われていた場合は使えません。

質問の内容がいろんな意味に読めますので、具体例次第ですね。

・旧プロバイダが提供してるメールアドレスを新プロバイダのサービス下で継続使用しようとするなら、継続できるだけの何らかの旧プロバイダとの契約が必要です。
　たとえばSo-netなら(新規受付は終わっていますが)メールコースというのがありますので、これを契約していればSo-netのメールアドレスを他のプロバイダで使えます。
https://www.so-net.ne.jp/access/juryo/

・Google(gmail)なりYahoo!(Yahoo!メール)なり(「out look のメール」がOutlook.com https://office.live.com/start/Outlook.aspx?omkt=ja-jp を意味するならそれもここか)の無料メールアドレスの話なら、プロバイダとは何の関係もないのですから乗り換えようとなんだろうと継続利用できます。

　ざっくり思いついたのがこの2例ですが、要点としては「Outlookのメール」がOutlook.comのことなのかメーラーとしてのOutlookのことなのか、そこが鍵になるのかな、と。メーラーのことならアドレスの@以降を教えて欲しいところです。

outlookのメール　Microsoftが提供している　Outlook.comの事かな？

Microsoftアカウントに紐づけられたフリーのWebメールなので　ユーザーアカウントを削除しない　一定期間未使用にしない限り使い続ける事が可能です　今のところは　今後の方針は不明

Gメール　Googleメールなどと同じ

outlookのメール　Office Outlookのメールアプリであれば
プロバイダーから提供されているメールアドレスは解約と同時に抹消され使えなくなります