源泉徴収票

〉他の方はこういう事はありましたか？
・よくある事です。

〉ちなみに明日休みが取れたので雇用保険証が前回の分（離職票が来たので）と今払ってもらっている所の雇用保険をまとめてもらうのにハロワに行こうと思っているのでボチボチ電話して源泉徴収票を送ってもらおうと思っています。
・ン？雇用保険をまとめてもらう？まとめる必要あるのですか？ハロワがやってくれるの？電話して源泉徴収票を送ってもらう？...そ、それは「明日ハロワに出掛ける前に届くように」送ってもらうのですか？
そんな素早く対応してくれるかなあ。

前の職場が「源泉徴収票は来年1月～2月位に郵送します」というのは、確定申告の時期に合わせて送ります、とおっしゃってるのです。
「その前に必要ならば連絡をください」というのは、次の職場で前職場の分も合わせて2020年分として税務申告してくれる環境になるなら、つまり「雇用されて仕事する」ことになるならその時に連絡ください、とおっしゃってるのです。

ですから、質問者さんは仕事が決まったのだから、連絡して源泉徴収票を貰うといいですね。
ただ、書類を作る人のことを少し考えてあげられるのでしたら、「明日届くように送って」とは言わない方がいいと思います。まあわかってるとは思いますけど...