２つの団体から住民税の納付書が届きました

もしかして、浦安市からのは国民健康保険税の納付書ではありませんか。
前職と現職、そしてその間を含めた就労状況がはっきりしませんので何とも言えませんが。。。

住民税は，1月1日に住所があるところに住民税を納付します。
28年11月末に退職したときまで天引きされていた住民税は会社経由で江戸川区に(28年6月から29年5月までの分割で)支払っていたと思いますが，退職した時点では全額を支払っていなかったはずです。その残りはどうしましたか？納付書で支払いましたか？それとも会社に残りを一括で天引きするようにしましたか？
29年分の住民税は，29年の6月ころに江戸川区から課税通知書が送られてきたはずですが，どうですか？ちゃんとそれに従って住民税を納付しているのですか？
あなたが浦安市に転居したことを，浦安市が知ったのは29年の9月に転入届を出したときだと思いますが，そのとおりですか？そうであれば浦安市には29年に課税する権限はありません。29年の9月に浦安市の住民になったのなら浦安市に住民税を支払うのは30年6月からです。
「現在は別の所で働いています」というのなら，その会社から住民税が天引きされるように会社に言ったはずですが，どうですか？もし何も言っていないのであればちゃんと言ってください。今の会社が天引きを開始するまでは，江戸川区から納付書が届いても不思議ではありません。
とにかく，今のところ住民税の納付先は江戸川区です。浦安市には支払う必要がないことを言っておいたほうがよいですね。

住民税は「その年の1月1日に住民票がある自治体」からその年度分を徴収されます。住民税の算出は、前年の1月1日から12月31日までの所得に対して行われます。つまり、締め日翌日に居住していた場所から徴収が行われると考えてください。
なので、2017年1月1日に住民票が江戸川区になったならば、今年度は都民税と江戸川区民税を払うことになります。千葉県および浦安市に支払う必要はありません。
ただ、放置すると後々問題となるケースもありますので、浦安市の市民税課（http://www.city.urayasu.lg.jp/todokede/zeikin/juminzei/1000278.html）に問い合わせてください。