市販されているコイルを探す方法と修理の手順

焼損したコイルだけでなく、故障の発端まで辿って修理を目指すのであれば、まずは電源の回路方式を特定して、主要部分について回路図を書き起こす程度の準備が必要と思います。

ご提示になったようなトロイダルコアを使ったコイルが搭載されたスイッチング電源の例（写真）をご参考に貼っておきます。この電源では、コイル部品が3個見えます。左端にあるのが、ノイズの漏出を防ぐ入力フィルタです。中央の黄色いテープを巻いてあるのが、1-2次間を絶縁し、電圧を降圧するトランスです。その右側にあるトロイダルコアを使ったコイルが、2次側の整流回路で高周波成分を抑制して平滑な直流を作るためのフィルター用のコイルです。

本格的修理を目指すのであれば、
新たなスレッドを立てて、どんな部品が実装されているかが分るように、電源回路の基板全体の写真をアップしたら如何でしょうか？
経験者が写真を見れば、回路方式と、焼損したコイルの回路上の役割について、推測できると思います。

そのうえで、経験者のアドバイスに基づいて、1次側のスイッチング素子、2次側のダイオード、制御回路が活きているかなどの確認を進めていけば、故障の真因にたどり着く可能性を上げることができそうです。

スイッチング電源の回路方式：
https://www.cosel.co.jp/technical/productinfo/0002.html

回答6，7さんの回答に対して

>恐らく、発振器のトランジスタがショートモード故障して直流電流を後段に流した

まあ、そんな所だと思います。

ただ、それが分かったところで、そのトランジスタが単品なのか、ICの中にパワートランジスタが内蔵されている物なのかも、現物を見てないからわからないし、壊れているのがコイルとパワートランジスタだけで、それ以外が壊れていないのかどうかもわからないしで、結局、修理出来るところまで辿り着ける可能性は低いでしょう。

>焼損したコイルのみ交換したとすると発振器が停止したままなんで直流１４０Ｖが出力されるでしょう

それは無いと思います。

非絶縁型のスイッチング電源なら、パワートランジスタがショトモードで故障すればそうなりなすけど、非絶縁型のはずが無いですから。
もし、AC100Vから直接、非絶縁型スイッチング電源でDC12Vを作ると、絶縁されていないので、DC12Vに触れると感電して危険です。
そんな電源は、作ろうと思えば作れますが、世の中に流通させることは出来ません。

回答６です
書き忘れたんで　再投稿


焼損したコイルのみ交換したとすると
発振器が停止したままなんで直流１４０Ｖが出力されるでしょう

１００Ｖｘ√２＝１４０Ｖ
https://cc.cqpub.co.jp/system/contents/1674/

出力端子に機器を接続すると機器はお亡くなりになる
出力端子に手を触るとご自身の寿命が短くなる

前出の先生方は誰もコイルが焼損する原因に言及されていらっしゃらないけど


憶測ですが、焼損した原因はコイルに直流電流が流れたから

このタイプのコイルを使用する電源は所謂スイッチング電源
https://www.tdk.com/ja/tech-mag/power/009
このコイルには通常では高周波電流が流れています（概ね数１０ｋHz程度）

高周波だからインピーダンス抵抗が大きくて大電流は流れないハズなんだけど
このコイルに直流を流すとインピーダンスは低いんで大電流が流れて焼損する

つまり、コイルの前段の高周波発信器が故障してる
断線モードで故障したなら電流が流れないんでコイルは焼損しないけど

恐らく、発振器のトランジスタがショートモード故障して直流電流を後段に流した
https://edn.itmedia.co.jp/edn/articles/1203/06/news032.html

回答(1)再出
コイルを交換しても直らない可能性が高いことをご理解の上で、ダメモトで試してみたいというのであれば、次のような方法があります。

焼損したのは、コイル銅線の絶縁物であって、コイルのコア（鉄心）部分は不燃物（焼結体）なので磁気的な性能は維持している可能性が高いと推測されます。
焼損したエナメル線と同じ太さのエナメル線（ポリウレタン銅線）を購入して、同じ巻数、同じ方向にご自身で巻き付ければ、コイルを再生できる可能性がありそうです。
焼損したコイルの銅線をほどく際に、巻数、巻き方向などを注意深く観察してメモしておくことが肝心です。
なお、コア（鉄心）の表面に絶縁塗装が施されていれば、この部分も焼損していますので、新たに巻線を行うまえに、絶縁ワニス等で絶縁塗装を修復することも必要と思います。

ポリウレタン銅線：
https://www.marutsu.co.jp/GoodsListNavi.jsp?path=170009