オイルレスコンプレッサーを直す方法

写真で見たところ最低でも3箇所の修繕が必要です。

1.ピストンのトップに吹き抜けの穴があるように見えます。
　ゴミじゃなく穴なら溶接などでふさぐ必要があります。

2.リングが傷んでますので交換が必要です。
　メーカから部品が出ない場合は汎用品を探す必要があります。
　見た感じのサイズはこのぐらいでしょうか？
　https://www.amazon.co.jp/dp/B078MNKYRH

3.シリンダが錆びてますので出来るだけ鏡面に近づく程度に磨く必要があります。

症状が「規定圧力(大抵0.8MPa、偶に0.5MPa)まで上がらない」だとすれば、ピストンのシール摩耗でのエア漏れが原因でしょう。カシメ固定なので、修理はできません。

症状が「全く圧力上昇がみられない」だとすると、どこかのチェックバルブが固着していることになるかと思います。これは修理できる可能性が遺されています。
モーターを回転させての圧縮動作で圧縮シリンダーが即座に熱くなるようなら、タンク入口のチェック弁固着を疑います。タンク入口にレンチが掛けられそうな六角部があればそれを外してみてください。
内部にばねで抑えられたボールかポペットがあるので、外すときは内部部品が飛び出さない様に慎重に周囲を覆って行うことを推奨します。
圧縮動作をさせてもシリンダーがじんわりとしか温まらないのであれば、ピストンのチェック弁固着を疑います。この場合だと写真に写るピストンについているプラスの鍋小ねじを蓮して、薄い金属板が外れるかチェックします。簡単に外れないようなら、クレ556DXの様な浸透潤滑油を掛けて一晩放置し、様子を見ます。それでも外れないなら修理不可能です。

形状的にタンクレスのようなのでタンク搭載型だと「圧力スイッチ」の故障が考えられます、圧力スイッチはタンクに一定の圧縮空気が充填されたらモーターの回転を止める安全装置と記憶していますが検索すると圧力が上がらない場合の原因に入っているようです（私の知識不足ですがどういう理屈なのかは理解できていません）

タンクを増設できるタイプのミニコンプレッサーだと圧力スイッチが搭載モデルの可能性もあるかもしれません
またはエアー補充の動作音に紛れてエアー漏れしてるとか

圧力スイッチとはこんな部品です
https://www.toolsisland.jp/?pid=173055894
※コレを買ったからといって直るとは限りません、あくまで可能性の一つとしてお考え下さい

ピストン外周、シリンダとの接触部がかなり傷んでいるように見えますので圧縮漏れを起こしていると思います。
そこの部品交換と、シリンダ側も点検して傷があれば修理か交換が必要になると思います。

ピストンリングがヘタっているのでしょうね、シリンダそのものも偏摩耗している可能性もあるので、安価でしたら買い換えたらどうでしょう