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特殊形状の板ばねの設計
2023/10/17 15:45
- 特殊形状の板ばねの設計において、ばねの任意の点でのたわみ量を計算するための方程式の導出方法について悩んでいます。
- 板ばねにR加工が施された場合と、R加工と折れ曲げ加工が施された場合の設計についての考え方が分かりません。
- R加工部や折れ曲げ部をどのように考慮して、たわみの計算を行えば良いのかわからないです。
特殊形状の板ばねの設計
2009/05/31 11:59
いつも設計の参考にさせていただいております。
下記（１）と（２）のような板ばねの設計で、ばねの任意の点でのたわみ量を計算するのに、
下記のたわみの公式より方程式の導出を試みております。
しかしながら、形状が複雑なため、導出に必要な条件をどう捉えればよいか、
考え方で悩んでおります。
d^2y(x)/d^2x = - M(x)/EI(x)
y(x): xの点におけるたわみ量
x: 座標
M(x): xの点での曲げモーメント
E:ばねの縦弾性係数
I(x):断面二次モーメント
（１）板ばねの途中にR加工が施してある場合
集中荷重印加点
↓
⌒￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
( ←R加工 ↑
＼ ｜
＼ ← 角度θ
＼
固定端
上図は、板ばねの断面を表しております。
ばねの厚みは、固定端から集中荷重印加点まで一定で、
図の面に対して垂直な方向がバネの幅方向となります。
固定端からある距離を置いて角度θのR加工があります。
（２）板ばねの途中に「R加工」と「折れ曲げ加工」が施してある場合
集中荷重印加点
＼｜
－┘
／
角度θ2－→ ／
↓ ／
⌒￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ←折れ曲げ加工
( ←R加工 ↑
＼ ｜
＼ ← 角度θ1
＼
固定端
（１）と同じく、板ばねの断面を表しております。
ばねの厚みは、固定端から集中荷重印加点まで一定で、
図の面に対して垂直な方向がバネの幅方向となります。
固定端からある距離を置いて角度θ1のR加工、ばね先端からある距離を
置いて角度θ2の折れ曲げ加工があります。
集中荷重印加の方向は、板ばね先端の面に対して垂直な方向に印加
します。
（１）と（２）のどちらも、式導出の考え方としては、下記のように考えれば良いのかちょっと判断がつきかねております。
R加工部と折れ曲げ部を直線相当と近似 集中荷重印加点
↓ ↓
固定端－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
基本的には、R加工部、折れ曲げ加工部を直線の片持ち梁形状に置き換えて、
たわみの計算を行う。
R部、折れ曲げ部がどのようにたわむかは、直線置き換え時のたわみ量（固定端からの距離をｘとして、ｘの点でのたわみ量分だけ）、と同じように変化するとする、と考えておりますが、根拠が無く自信がありません。
ばね幅も変化するのですが、先ずは考え方を明確にするため、今回は一定として考えております。
宜しくお願いいたします。
回答 （3件中 1～3件目)
この手の問題は、カスチリアーノの定理を使うのが定石です。
カスチリアーノの定理は、梁の不静定問題や曲がり梁に有効な方法です。
梁の先端を基準にとり、固定端に向かって、各位置でのモーメントＭを計算し、歪エネルギーＵを算出します。
Ｕ＝∫（Ｍ^2/ＥＩ）ds ・・・ ?
その際、荷重作用点やモーメント作用点ではそれらを未知数として、また、途中の支持部や固定部は、すべて反力と反モーメントを想定して、?式に代入して計算します。
（１）の場合について、具体的に示すなら、次のようになります。
右上端の荷重をＰとします。
（ａ）荷重点をｘ＝０にとり、直線部の長さをＬ1とすれば、
０≦ｘ≦Ｌ1で発生するモーメントＭ1は
Ｍ1＝Ｐｘ ・・・ ?
Ｕ＝∫|０→Ｌ1|（Ｐｘ）^2/ＥＩ ｄｘ ・・・ ?
（ｂ）曲線部は、右上端をθ＝０にとり、Ｐによって発生するモーメントＭ2を計算すれば、０≦θ≦θ1で、
Ｍ2＝Ｐ（Ｌ1＋ｒsinθ） ・・・ ?
Ｕ＝∫|０→θ1|｛Ｐ（Ｌ1＋ｒsinθ）｝^2/ＥＩ ｒｄθ ・・・ ?
（ｃ）左側直線部は、円弧端をｙ＝０にとり、直線部の長さをＬ2とすれば、
０≦ｙ≦Ｌ2で発生するモーメントＭ3は
Ｍ3＝Ｐ（Ｌ1＋ｒsinθ1＋ｙcosθ1） ・・・ ?
Ｕ＝∫|０→Ｌ2|｛Ｐ（Ｌ1＋ｒsinθ1＋ｙcosθ1）｝^2/ＥＩ ｄｙ ・・・ ?
すべてのＵを加えて、Ｐで偏微分してやれば、先端のたわみの計算式が求まります。
これは、断面が変化しようが、材料が変化しようが、普遍的に成り立つ関係なので、あなたの最終目的にも適うやり方です。
（２）については、少々面倒ですが、（１）に項が付け加わるだけですので、根気良くやれば、同様にして求めることができます。
上の場合には、歪エネルギー発生要因として、曲げモーメントが支配的なため、それだけを考えましたが、引張圧縮や、ねじりなどが存在するのなら、それらのエネルギーも足し合わせてやることにより、それらの影響も考慮できます。
直線的にのばすという方法は、決してオススメできません。
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小生も、仰るように，単純化すれば直線の片持ち梁形状に置き換えて、
撓みの計算を行っても目安の評価はできると思います。
ただし、荷重印加点から何点かポイントを取ってみますと判りますが、
? モーメントは、Ｒ加工部より固定端側は減りますが、撓みは増加して
いきます。
? 折れ曲げ加工部は、断面が角度分大きくなります
を多少でも考慮できる内容にすべきです。
おっしゃるように，単純化すれば直線の片持ち梁形状に置き換えて、たわみ
の計算を行っても目安の評価はできると思います。しかしコーナー部や端部
の影響が大きいと計算とのずれが生じます。薄板ばねの場合はばね工業会
などが示している薄板ばねの設計計算方法に準じた方が現実的だと思いま
す。下記サイトで一例を紹介しています。
