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三角形ABCの線分ADの長さを求める例題
2023/10/18 07:39
- 三角形ABCの頂点がAであり、∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求める問題。
- AB=4、AC=6、∠BAD=60°、∠CAD=60°という条件が与えられた場合、ADの長さを求める方法がわからない。
- sin120°=2√3であることは確かだが、4×AD+6×AD=4×6の式の成立理由がわからない。
三角形の面積の例題にて
2010/03/28 19:09
頂点がAの三角形ABCがある。
∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。
ただし、AB=4 AC=6、∠BAD=60°∠CAD=60°とする。
という例問題で、
1/2×4×AD×sin60°+ 1/2×6×AD×sin60°=1/2×4×6×sin120°
ここで、sin60°=sin120°=2√3だから、4×AD+6×AD=4×6
よって、AD=24/10=12/5
‥の「ここで、」から、解らなくなっています。
確かにsin120°=2√3ですが、4×AD+6×AD=4×6の式がどう成立して出来たのか、考えが及びません。sin120°は何に消されて、どうして=4×6なのでしょうか‥
回答 (3件中 1~3件目)
こんな問題は、ドラフターで図面を描いた経験がある昔人間なら、フリーハンドでマンガ絵を
描きます。
そして、三角形の面積なら∠Aである120°を二等分して60°と60°にする記述で、ピ~ンと
きて、直角三角形30°&60°は1:2:√3の辺長さ構成になるで計算すると考えます。
すると、△ABDの面積 + △ADCの面積 = △ABCの面積計算に関しては、
先ず、△ABDの面積は、点BからADへ垂線を下ろし交わった点までの長さが“高さ”となり、
その高さは、1:2:√3を利用して、2:√3=4(AB):2√3(高さ)となり、底辺×高さ÷2
がAD×2√3×1/2となります。
次に、△ADCの面積は、点CからADのD側に延長した線へ垂線を下ろし交わった点までの長さが
“高さ”となり、その高さは、1:2:√3を利用して、2:√3=6(AC):3√3(高さ)となり、
底辺×高さ÷2がAD×3√3×1/2となります。
最後に、△ABCの面積は、点BからACのA側に延長した線へ垂線を下ろし交わった点までの長さが
“高さ”となり、その高さは、1:2:√3を利用して、2:√3=4(AB):2√3(高さ)となり、
底辺×高さ÷2がAC×2√3×1/2となり、AC=6なので6×2√3×1/2となります。
以上を纏めると、、△ABDの面積 + △ADCの面積 = △ABCの面積計算は、
AD×2√3×1/2 + AD×3√3×1/2 = 6×2√3×1/2で、今一度マンガ絵を見ると
△ABD面積の2√3は4(AB)×sin60°で、△ADC面積の3√3は6(AC)×sin60°で、△ABC面積は
4(AB)×sin60°です。(小生は、マンガ絵から△ABC面積の高さはAC×sin60°としますが、
例題は4(AB)×sin120°としているのですね。でも、sin60°=sin120°です)
因って、
AD×(4×sin60°)×1/2 + AD×(6×sin60°)×1/2 = 6×(4×sin60°)×1/2は、
1/2×sin60°×(4×AD+6×AD)= 1/2×sin60°×4×6となり、
1/2×sin60°×(4×AD+6×AD)÷(1/2×sin60°)= 1/2×sin60°×4×6÷(1/2×sin60°)
と処理して、4×AD+6×AD=4×6の式が成立します。
やたらsinやcos、tanの三角関数を使用して計算すると、計算ミスやtanを使用する処を
sinを使用する使用ミスをします。
設計や製図を志す方は、やはりマンガ絵を描く習慣を身に付けた方が、ミスが減ります。
また、客先打ち合わせ時等のスケッチが上手になります。
A
・
・ ・
・ ・
・ ・
B ・ ・
D ・ ・
・ C
・・・・・・・が垂線 ↓
・
・ A
・ ・
・ ・
・ ・ ・
・ ・ ・
B ・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・
D ・ ・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ C
のような図です。
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そもそも定義が違うような。
sin60°=sin120°=(√3)/2
ですよね。その面積から求めた関係式に,sin60°=sin120°=2√3
を代入してみて下さい。確かに,4×AD+6×AD=4×6になります。
結果的にはsin60°=sin120°であるため,ADを計算するときには関係なくなってしまいますが,∠Aが二等分されていなければ,全く違うこたえが出て来ますよ。
>1/2×4×AD×sin60°+ 1/2×6×AD×sin60°=1/2×4×6×sin120°
(?ABDの面積 + ?ADCの面積 = ?ABCの面積)
↓
1/2×sin60°×4×AD+ 1/2×sin60°×6×AD=1/2×sin120°×4×6
↓
1/2×sin60°×(4×AD+6×AD)=1/2×sin120°×(4×6)
↓
(1/2×2√3)×(4×AD+6×AD)=(1/2×2√3)×(4×6)
↓
4×AD+6×AD=4×6
ということと思います。
回答(2)さん、御指摘ありがとうございます。
見落としていました。
補足
2010/03/28 23:26
すみません。写し間違えで、sin60°= sin120°= √3/2です。
早速、ご指摘の通り√3/2を sin60°及び sin120°に代入してみました。
両辺を1/2×√3/2で割ってADの値を算出できるよう変形させてたのですね。