材料力学のご質問

Question

材料力学の基本的な質問させて下さい。
φ１０のSS４００丸棒を 長さ１０mmの両端でつかみ その中心付近から重量を加えた場合、
 計算上何キロで破断するでしょうか？

出来ましたら数式も教えて頂けると幸いです。

Accepted Answer

SS400 φ10mm材料の 2面せん断についての数値をお求めでしょうか？

φ10mmの断面積は、78.54e-6m2　せん断面が2面として　157.1e-6m2　
SS400の引張降伏応力を235MPaとすれば、せん断降伏応力は1／√3で135.7MPaとするお約束。
せん断が起こる力は、157.1e-6m2×135.7MPa＝21318Nという計算になると思います。

重力単位に直せば、9.8N/kgfで割って、2175kgfという計算になると思います。

“塑性変形を開始する”点の目安を回答したのですが、お問い合わせの言葉は
“破断”であって、回答直後から気になっていました。

塑性変形をはじめた後、変形が進展して破断に至る過程は、簡単なモデルでは
表すことができずに、素人が手計算で結果を出せるような範囲を超えると
思います。

力を掛ける部分の形状を、丸棒をせん断する金型のような形状と仮定すれば、
せん断に必要な力は比較的簡単な式で表すことができて、手計算でも数値を
求められると思います。

要は、破断する力を求める目的が、荷重を支える安全性の限界が知りたいか、
破断させるために必要な最小限の力を求めたいのかに拠ると思います。

材料に力が加わるモデルを極々単純化することができれば、安全に支えるこ
との限界と破断が起こる条件とは明確に区別ができるのだと思いますが、
現実にはその中間にかなり広いグレーゾーンが存在すると思います。

http://takedagp.com/reference/reference.pdfを参考にすると、
SS400のせん断抵抗の上限は、412N/mm2＝412MPa程度のようです。
先に示した135.7MPaを412MPaに読み替えて計算すれば、
破断させるために必要な力は、157.1e-6m2×412MPa＝64725N
重力単位に直せば、6605kgfという結果であり、先の値と大きな開きがあります。

なお、力を加える部位及び支える部位の形状次第では、6605kgfの力を掛け
ても破断しないことも想定されます。この値は、丸棒をせん断加工する金型
のような形状の場合とお考え下さい。

Answer

難しくないでしょう。
直径＝長さの短形状。その中心に重量を加えるものの形は数ミリ位の幅があるはず。
ならばせん断荷重とみなしてよく、市販品としてはシャックルに近い。
　　http://www.shitaya.co.jp/syohin/huzokuhin/shackle/jis.htm
　　ピン径10　→　使用荷重 5.88KN (0.6ton)

安全係数が掛かってるので、破断荷重の計算なら回答(2):64725N で宜しいかと。

両端のつかみがシャックルのように丸穴でないと荷重が不均一になり弱くなります。

梁で考えるべき長い形状で荷重を増すと、たわみ量は計算式と徐々にズレてきます。但し応力はあまり変わらずソコソコは合う。
破断に近づくと大きな変形、それすなわち計算式の前提が崩れることを意味し計算にならない。現実では曲がって両側が抜け落ちたりも。

せん断も、現実には純粋状態にならないが、梁の曲がり→破断よりも変形が少なく破断するので計算とのズレも少ない。

Answer

数値を出すのは、難しいです。
材料のバラツキや重量の詳細な加わり方（負荷の掛け方と、丸棒なので理論的には線接触
になる等）、丸棒の長さ、両端のつかみ方、丸棒表面状態、等々で微妙に変わります。

ですが、考え方は簡単です。
曲げ応力（丸棒の長さが長い場合）か、せん断応力（丸棒の長さが短い場合）で破断します。
曲げ応力は、引張応力と圧縮応力の小さい方で、SS400では同じです。

さて、丸棒の長さが長い場合は、曲げ（引張）応力が、重量が加わる反対側（想像では下部）
が一番大きな応力が加わります。
ですから、両持ち梁の荷重が加わる条件が中央なら、中央集中荷重にて丸10mm条件で
計算した結果が、その一番大きな引張応力を求めたことになるのです。
それが、SS400の引張応力（URLでの目安450N/mm2）を超えると破断します。
（表面が荒れていると、その一番大きな引張応力部分に、応力集中が発生し、
その集中係数
が1.5なら1/1.5で破断することになります。）
梁のB.M.D.図が描けると良いね。

丸棒の長さが短い場合は、せん断応力ですが、梁計算のS.F.D.にて求める場合が多いです。

そして、梁計算はB.M.D.とS.F.D.にて確認するのが一般的です。

Answer

破断するのか？となれば塑性加工の領域に成るから、意外に難しいかも知れん
我々機械設計士は、変形するかしないかを問題にするから基準強度は降伏点だ
＞中心付近から重量を加えた場合計算上何キロで破断するでしょうか？

となればSS400では単純はりの様な荷重条件であれば簡単には破断はしないから
つまりU字形になるまで塑性変形するだろう。其処で問題になろうと思われる事
はUの内Rの大きさでしょう。つまりRが決定されない限り計算できるのは誤りだ

＿＿＿＿＿＿▼＿＿＿＿＿＿＿
△・・・・・・・・・・・・△

▼の先端Rのサイズにより変わりますし、大きいと破断は掴み部分で生じるかも

調度良い画像を見つけた。↓は丸棒の曲げ加工の動画なのですが、大事な所は
掴み部分がY方向(鉛直支持）のみで長手方向は拘束していない所です。今回の
ご質問からは長手方向を拘束しているものとするならば、せん断破断よりも
拘束部での引張による破断になる可能性が高いのではないかと思っています
https://www.youtube.com/watch?v=M_rxrVZPfFs

つまり。π/4*10＾2*510=40.06 KN(≒4.2 tonf) ・・・510 N/mm2 破断強度
ここらは何れも私の推測に過ぎませんん。それ程に塑性加工は別分野になって
難しいのです。一番明確なのは試験上にテスト治具を持込み万能試験機で実際
に試験して見ることが理論と現実を結びつける有力かつ明快な方法だと思う。

但し、こうなると10mmの間の▼の幅部分で2面せん断になるかも知れませんね
っとなれば曲げとせん断の合成応力になるので何だか更に難しくなってくるぅ
以上から、 4.2～6.6 tonf　を大体とすればこれの2倍見とけばいいだろう？

戻って実際にこのような技術文献があるかも知れませんが全く探していない。
単純と思われるモデルであっても現実に理論で明確に解明するということ自体
は容易でないことが殆どだと思う。力に成れなくて申し訳ありません・・・

Answer

材料力学のサイトがたくさんあります。これらのサイトを参考に考えてみてください。丸棒の長さが10mmなんでしょうか。直径が10mmですから丸棒というよりブロックですね。ともかく、支持条件により、両端支持か両端固定の真直はりの中央に集中荷重が作用する場合の最大曲げ応力を求めます。切欠きがないとすれば、SS400の引張強さを調べて、用途に応じた安全率から許容応力を求め、先に求めた最大曲げ応力と許容応力が一致するところで破断すると考えてはどうでしょうか。

材料力学の基本的な質問