精度、近似値について

Question

AとBの関係(比)について計算しています。
A＝365.24219...　　B＝ 224.62... とすると、
両者の関係はA÷B もしくは B÷Aで表されますよね？
計算結果1.62604... 0.614989... となりました。

この場合の精度？近似する数字として、
1.6250という値と、0.61500という値はどの位正確と言えるのでしょう？
前者ですと1000分の1位の誤差、後者ですと少数点第１位から数えて、10000分の１位の誤差と表現するのでしょうか？
実際は後者のほうが正確なのでしょうか？？

そもそも比の話なので、具体的なモノの精度ではありませんが、世間で言う『１万分の１の精度』とかケタ数での精度表現との関係はいかがでしょうか？

Accepted Answer

>>精度の基準
　数学的な話は別として『測定』についての精度の基準というのは、そのまま『単位の基準』になります。

身近な例で言うと、仮に百円ショップで物差しを買って、不安なのでその精度を確認したいとします。
　この時1番シンプルな方法は、既に『○○mm』と判明している何かを、その物差しで測る事です。間違いなく10mmの物を測って10.2mmだったなら、その差の0.2mm分が物差しのズレ≒測定精度（または測定誤差）です。

しかし『間違いなく10mmの物』も、もっと細かく見ればズレているものです。10.001とか、10.0001、10.00000……というように。
　つまり間違いなく云々という物体もまた、何かより高精度の測定機器によって確かめられた数値です。『0.0001mmまで測れる機器で10mmジャスト』みたいな感じです。
　その測定機器はまた別の物体で、またその物体は別のもっと高精度な側面機器で……と辿っていくと、最終的には単位の定義値に行き着くわけです。

Answer

まずは、A＝365.24219...　　B＝ 224.62...という値が、どのように得られた値なのか・・・それぞれの不確かさ、両者の相関の程度に基づいて議論することが適切と思います。

A，Bが例えばある部材の異なる部位の長さであって、同じ測長器を使って、隣接したタイミングで測定したとします。きちんと整備された測長器を使っていれば、測定器のリニアリティーは十分良好でA，Bの値には強い相関があると考えられます。このような条件の場合は、A，Bの測定の不確かさ（絶対値）に対応する有効桁数よりも、A/B、B/Aのような比率の数字の有効桁数を増やすことは合理的と思います。有効桁数を増やすことに合理的根拠があるのですから、不用意に丸める必要はないということです。

A，Bが例えば、長さと質量のように別々の物理量であって、別々の測定器で測定するような場合であれば、A，Bの値は独立（無相関）と考えられると思います。このような場合は、A/B、B/Aのような比率の数字であっても有効桁数を増やして扱うことは、合理的ではないと思います。

いずれの場合であっても、A/B、B/Aのどちらで比較しても誤差の優劣は無いと考えていいと思います。

Answer

『どの位正確と言えるか』というのがよく分からないのですが、カテゴリ的に測定の事だと判断して進めます。
　真値が1.62604、測定値が1.6250ならその差は0.00104ですから、1000分の1程度の誤差と言って構いません。
　同様に真値0.614989と測定値0.61500なら、差が0.000011ですので0000分の１程度の誤差と表現できます。
　単純比較していいかどうかはケースバイケースですが、誤差に一桁の差があるならば『後者のほうが正確』と形容して概ね間違いないでしょう。
(実際には最近は『誤差』と言わなくなっていますが、ディープな話になるので割愛)

よく言われる「〇〇分の1の精度」という表現ですが、これは暗黙的に単位が省略されているだけで、多くの場合は基本的な単位(長さならmmとか)の事です。1mmという真値に対して、0.999mmとか1.001mmという測定値が出るなら千分の1の精度です。

まあ慣用的な表現なので厳密性には欠けますし、明確なルールも無いですけどね。上記の例で言うとプラスマイナスで0.002mmの誤差があるが、千分の1の精度と言ったり言わなかったりします。

AとBの関係性についての精度と近似値