どのネットワークにも接続されないウィンドウズ10

>昨日ホームゲートウェイの再起動をしてみましたが、駄目でした。

そこが先に確認する部分ではないですよ

まずはPCにネットワークアダプターが設定されているのかどうか
またそのアダプターが正常に動作しているのかどうかから確認する点になります

Windows10との事なので設定からネットワークとインターネットと進んでいってネットワークの詳細設定の部分にあるアダプターのオプションを変更するを開いてください

無線で利用したいという事なのでここにWi-Fiのアイコンがある事を確認する（その他の部分はどうなっていてもいいですLANケーブルがPCに挿していない事だけ確認してください）

Wi-Fiアイコンを右クリックして出て来るメニューの一番上が無効にするとなっている事を確認してください

ついでにプロパティをクリックしてインターネットプロトコルバージョン4の部分をクリックしてプロパティを開きます
IPアドレスを自動的に取得するとDNSサーバーのアドレスが自動取得する方にチェックが入っている事を確認する

確認が出来たならば開いたページは全て閉じてしまっていいです
次にコマンドプロンプト画面を出します
https://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=6523

コマンドプロンプトが起動したならば
ipconfig　と入力してEnterキーを押してください

Wireless　LAN adapter wi-fi部分でIPv4のアドレスが確認できます

値はいくつになっていますか？
プライベートアドレスなのでここに書き込みしても問題ありません

値を教えてください

まずは何が原因でそうなっているのか特定しましょう。

ESETのファイヤウォール機能を一時的に無効にして、ネットが接続できるようになるかチェックしてみてください。

ファイアウォール機能を無効にするには？ | ESETサポート情報
https://eset-support.canon-its.jp/faq/show/208?site_domain=default

これで接続できるようになるなら、ESETのファイヤウォール機能が原因ということになります。その場合には下記を参考にしてみてください。

無線LANをご利用の環境で、インターネット接続が遮断される | ESETサポート情報 | 個人向け製品 | キヤノンITソリューションズ
https://eset-support.canon-its.jp/faq/show/187?site_domain=private

PC型番やOSなどの情報を書きましょう。
それとローカルネットワーク内の話ならまずは有線LAN、無線LANどちらを使っているのか？わかりませんがPCでIPアドレスを確認しましょう。
ルーターと正常に通信出来ているなら192.168.xxx.xxxって言ったようなIPアドレスになっているはずです。169.254.xxx.xxxだとルーターとの通信が正常に出来ておらずPCが勝手にIPアドレスを決めた状態になります。

アダプタの設定部分で表示されているアイコンは今はどうでもいいですがそのPCをネットワークに参加させるのにどの方法で行いたいのですか？

まずはその説明をしてください（無線？LANケーブルを使って有線接続？

「どのネットワーク」とは具体的にどんな複数のネットワークをお持ちなのですか。
自宅でも通常の事務所などでも、通常ネットワークは一つのはずですが？