電源が接続されているが、充電できない。

バッテリが充電されません。
https://www.fmworld.net/cs/azbyclub/qanavi/jsp/qacontents.jsp?PID=8504-6582

<quote>
バッテリの残量が90%以上残っている場合は、ACアダプタを接続しても充電されません。
バッテリは、残量が89%以下から充電が開始されます（一部の機種は、充電が開始されるバッテリ残量が異なります）。
</quote>

上のURLには不具合の可能性も書かれています。一読を。

使っているPCのOSや設定状況によって変わります。
情報が不足していてコメントのしようがありませんので、一般論として。

ハードウェアに故障や断線などが無いとしたら、
・電池が100%充電状態であれば、それ以上充電しません。
・最近のPCでは、バッテリーの劣化を予防するために、満充電にせず
80%とか85%に達したらそれ以上充電しないモードを持つものがあります。
→コンピュータの取説なりヘルプを見てください。

当方の場合ＡＣアダプタが原因でした。

情報不足です
ランプは？？　バッテリーチェック項目のチェックは
バッテリの状態を表すマークやランプの意味
https://www.fmworld.net/cs/azbyclub/qanavi/jsp/qacontents.jsp?PID=8708-7624
バッテリ充電制御アップデートツール
https://azby.fmworld.net/support/info/batteryctrl/tool.html
FUJITSU Battery Check Tool
*ttps://azby.fmworld.net/support/download/battery2015/FUJITSUBatteryCheckTool.exe
まずは富士通のQ&Aを検索して情報を得る所から初めて、それから質問したほうが良いかと思います、「電源は接続されているが、充電ができません。」では何も調べないで質問しているという事です、これではどんな状態なのかもわかりません、まず「電源は接続されている」接続はされているが」では、電気が来ているかは判りませんよ、せめて電源ランプ（LED)は緑でついている（光っている）なら電源が動作していることは解りますし、接続されていなければ、電源ランプはつかない訳（他に選択肢はない）わけです。
又「充電できない」も充電ゲージやランプが点灯しているか表示がどうなっているか、見るくらいは出来ると思いますが、漠然と充電できないでは、しかも充電状態が書かれていない、バッテリーは１００％充電で使っていると寿命が短くなります、ですから、長寿命モードとして、メーカーによりますが50％や80％充電モードがあります、当然長寿命モードでは100％充電は出来ません、ですから充電できないが100％充電できないのか、10％でさえ充電できないのかによって、故障か、正常かが変わります。
情報は正確に

バッテリーがなくてもPCは起動します。