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円盤の慣性モーメントの求め方
2023/10/15 13:39
- 円盤の慣性モーメントは直径と質量によって決まります。
- 求める公式は1/8 * 質量 * 直径の二乗です。
- 具体的な求め方は数学の知識が必要です。
円盤の慣性モーメント
2007/07/03 10:02
直径D,質量Mの中心軸まわりの慣性モーメントが1/8xMxD^2と公式として
書いてある文献がたくさんありますが求め方がわかりません!
どうやって求めるのでしょうか?
回答 (4件中 1~4件目)
誤 正
慣性モーメントJ = m・r → m・r^2 --- ?
微小の記号dとして
微小厚み drのリングの 面積 dA = 2πr・dr --?
密度ρとして dm = ρ・c・dA --- ?
m = πρ・c・R^2 -- ?
? ? 整理
J = ∫dJ = ∫dm・r^2 = ∫(ρ・c・dA)・r^2 = ∫2πρ・c・r^3 ・dr
定積分 ? 直径で
= πρ・c・R^4 / 2 = m・r^2 /2 = m・D^2 /8
回答(1)の方が正しいでした。
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moridesignofficeさんへ
回答がよく分かりません。ご教授ください。
「慣性モーメントJの定義は、質量m、回転半径rとして J = m・r」
分かりやすいサイトを教えてください。
「∫r・dm = ∫(ρc・dA)r^2」
なぜ、結果としてr^2になるのでしょうか?
「πρc(r^4)/2 = m・D^2 / 8」
この結果の途中計算を教えてください。
「ここでは 定積分記述が出来ないので・・」
理由は何でしょうか?
答えにDが出てきていますが・・?
よろしくお願いします。
もう一つ不明な点があります。
「 半径r 半径増分?r」
r+?rと考えて、ドーナツ形状で計算しているのですよね。
どこからどの範囲で積分しているのでしょうか?
慣性モーメントJの定義は、質量m、回転半径rとして
J = m・r ---(1) 本題の物体は円盤で r= 0~(D/2)
ここで、微小質量部?mで (1)式を考える。
密度ρ ドーナッツ形の微小面積 ?A = 2πr・?r
半径r 半径増分?r 高さ(厚み)c とすると、
この微小部の質量 ?m = (ρc?A)
この部の慣性モーメント ?J = r・?m
従って全体の慣性モーメント
J = ∫r・dm = ∫(ρc・dA)r^2 = ρc∫r^2 dA = ∫ 2πρcr^2rdr
= πρc(r^4)/2 = m・D^2 / 8
なお、ここでは 定積分記述が出来ないので、正しい記述としては、
下記サイト:伝動軸(3)の(c)の(イ)円筒体を参照。
合っているかどうか分かりませんが、
慣性モーメントをI、質量をM、円盤の半径d、面密度q、中心から外周に向かっての距離をrとすると
公式I=Mr^2で、円盤の円周上の質量はq2πrとなり、
そしてq=M/(πd^2)です。
つまり
I=∫r^2(q2πr)dr を中心0からdの間で積分します。
I=∫r^2(M/(πd^2))2πrdr
I=M/d^2∫2r^3dr
I=[r^4/2]M/d^2(0~dの数字を代入)
I=1/2×Md^2
ここでd=D/2なので
I=1/8×MD^2
ではないでしょうか。
お礼
2007/07/03 13:37
早速のご回答ありがとうございました。
わかりやすくたすかりました!!