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金属棒の放熱計算

2008/07/15 00:23

非常に単純な放熱計算で困っています。

・ある金属棒を左端から加熱します。左端の温度は１５０℃とします。
・その金属棒は大気中に置かれます。
・金属棒表面で大気への放熱が生じ、金属棒の右端に向かって温度が低下してゆきます。
・なお、金属棒右端からの放熱はないものとします。
・金属表面温度が１００℃となる距離はどのくらいか？
・金属棒は炭素鋼で、径は50mm。温度による熱伝導度の変化は無視して良い。

という問題です。

　　　　　　　大気放熱
　　　　　　　　↑
加熱 -> MMMM(金属棒)MMMMMM
　　　　　　　　↓
　　　　　　　大気放熱

大気放熱によっても、金属棒左端は常に１５０℃で維持されるよう、加熱されています。

この問題を解こうとフーリエの式を使おうとしたのですが、どうも適用できないような気がします。

非常に簡単な問題のはずなのですが、解くことができません。
どのような解法があるか、ご教示を御願いします！！

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2008/07/15 06:35
回答No.1

典型的な放熱に関する演習問題ですね。
何種類かの教科書を探せば，全く同じ問題が，例題として回答例が示されていると思います。
与条件として一つ疑問なのは，無限長の棒を仮定して１００℃になる位置を求めるか，右端の温度が１００℃になる有限長の棒の長さを求めるかです。

前置きはこれまでにして，実用的な解き方としては，
棒を長さ方向を一定寸法(例えば５０ｍｍ毎）の区間に区切って考えます。
(1)各区間の表面温度は一定と考え，大気と表面温度の温度差，表面積，熱伝達係数から大気放熱に対する熱抵抗を求めます。
(2)各区間の間は金属棒中を熱伝導すると考え，断面積と単位長さから伝導に対する熱抵抗を求めます。
(1)と(2)で金属棒内の熱伝導と表面から大気への熱抵抗が求まったので，これを梯子型に組み合わせて，全体の熱等価回路を組み立てます。

表計算ソフト等をつかって，各区間毎に金属棒を流れる熱量，大気に放熱する熱量，温度を求めることができます。


なお，数値計算ではなく式を記号で表して分割する区間の長さを無限小にもっていけば，温度変化と距離の関係を数式の表現にすることも可能です。

入熱量は不要です。

前記の通り梯子型の熱抵抗回路網を構成すれば，左端からみた熱抵抗値（＝熱抵抗回路網の合成抵抗値）が求まります。左端の温度と大気の温度差を合成熱抵抗で割れば入熱量が求まります。

温度と入熱量両方の条件を入れると，矛盾が生じて正しい答えが求まりませんのでご注意ください。

>(1)大気放熱に対する熱抵抗ですので、これはQ=UAdTの式で求められる値と考えて良いでしょうか。Uは、対流伝熱係数の代表値を幾つか参照して求められると思います。

その通りです。Ｕの値は，面積１ｍ2温度差１Ｋあたり　１２Ｗ～１４Ｗ程度です。

>(2)式 q = kA(To-T1)/Lで求めることができるでしょうか？　あるいは単に、金属の熱伝導度と断面積および距離から求められる伝熱抵抗

ここでは，金属の熱伝導度と断面積および距離（単位長さ）から求めればいいです。（q = kA(To-T1)/Lと本質的に違いはないと思いますが）

>(1)と(2)で金属棒内の熱伝導と表面から大気への熱抵抗が求まったので，これを梯子型に組み合わせて，全体の熱等価回路を組み立てます。

(1)で求めた各区間の大気への熱抵抗をＲ
(2)で求めた金属棒の各区間の熱抵抗をｒとすると，梯子型の経路網は以下のようになります。

─┬ｒ─┬ｒ─┬ｒ─┬ｒ─┬ｒ─┬ｒ─┬ｒ─┬ｒ─
　Ｒ　　Ｒ　　Ｒ　　Ｒ　　Ｒ　　Ｒ　　Ｒ　　Ｒ　　・・・・・・・・
─┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──

まず，熱抵抗Ｒとｒを求めてください。（数値として計算しましょう）
次に，Ｒとｒを組み合わせた回路網全体の左端からみた熱抵抗を計算しましょう。

左端の温度が１５０℃，大気温度が仮に２５℃とすれば，左端（入力端）における温度差は１２５Ｋ。

先に求めた回路網全体の熱抵抗で１２５Ｋを割れば，左端から回路網（金属棒）に流れ込む熱量が求められます。

後は，抵抗比で熱流が分流していくだけです。

私の回答は，数学的に解こうとするもののではありません。表計算を使って，数値で，算数で計算しようとしています。この点をご理解ください。

お礼

ohkawaさま

ご回答有難うございます。
付与条件として、無限長の棒（現実には有限なのですが、１０ｍとかかなり長いので、無限長としても差し支えないと思います）が課題となります。

この条件で解く場合、ひとつ疑問に思っていたのは左端の加熱源からの入熱量要否です。入熱と放熱の関係から温度が求められるはずなので、加熱源の入熱量により任意の距離における温度も変わるはずですよね。この条件の欠落で解が出ないのではないかとも考えております。

やはり、加熱源からの入熱量は必要でしょうか。

早速のご回答、有り難うございます。伝熱の書籍を幾つか調べてみましたが、JUSTの例題が見つかりませんでした。こんな典型的な放熱計算を解くことができないことを、恥ずかしく思います。

>(1)大気と表面温度の温度差，表面積，熱伝達係数から大気放熱に対する熱抵抗を求めます。

大気放熱に対する熱抵抗ですので、これはQ=UAdTの式で求められる値と考えて良いでしょうか。Uは、対流伝熱係数の代表値を幾つか参照して求められると思います。

>(2)各区間の間は金属棒中を熱伝導すると考え，断面積と単位長さから伝導に対する熱抵抗を求めます。

これはフーリエの式 q = kA(To-T1)/Lで求めることができるでしょうか？　あるいは単に、金属の熱伝導度と断面積および距離から求められる伝熱抵抗だけで求められる値と考えて良いでしょうか。

>(1)と(2)で金属棒内の熱伝導と表面から大気への熱抵抗が求まったので，これを梯子型に組み合わせて，全体の熱等価回路を組み立てます。

すいません。「梯子型に組み合わせて，全体の熱等価回路を組み立てる」とは、どのような構成・・・でしょうか？　あまりに初心者の質問で申し訳ないのですが、宜しくお願い致します。

ありがとうございます。ご回答頂いた梯子型の経路網での考え方ですが・・・よく理解ができておりません。

解き方ですが、

(1) 初めに、任意区間を設定し、R，表面積，温度差（金属棒-大気）から放熱量を求める
(2) 次に、同任意区間において、r, 熱伝導度, 移動距離, 温度差から伝熱量を求める

かと思うのですが、(2)の「温度差」をどのように設定するのかが理解できておりません・・・すいません、もう少し詳しい解説をお願い申し上げます。

理解が悪く、申し訳ありませんでした。
まだ理解しきれておりませんが、ご指示に従い解いてみます。

2008/07/15 10:18

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