制動時の減速度又は走行時間の求め方を教えてください

すでに立派な回答がついておりますが。





この問題は、ロープを剛体とみなせるかどうか? にかかっています。
どっちですか?????








まず、ブレーキを動作させずに初期状態ゼロの状態で自然落下する場合の運動方程式を考えます。


ロープが物体Aを引っ張る張力を Ta, 物体Bを引っ張る張力を Tb, 物体Aの下方向への移動距離を xa, ブレーキ機構による摩擦力を fd とします。
滑車の回転角度をθで、dot{*}は1階、ddot{*}は2階微分です。

B側で滑車がロープを引っ張る張力は Tb、A側で滑車がロープを引っ張る張力を Ta とすることができるから、式は下になると思います。

xa = d/2 * θ
J * 2/d * ddot{xa} = d/2 * (Ta - Tb)
Ma * g - Ta = Ma * ddot{xa}
Mb * g - Tb = - Mb * ddot{xa}

これから下の解を得ることができます。
ddot{xa} = ( d*d*(Ma-Mb) )/( 4*J + d*d*(Ma+Mb) ) * g
Ta = 2 * ( 2*J + d*d * Mb ) / ( 4*J + d*d * ( Ma + Mb )) * Ma * g
Tb = 2 * ( 2*J + d*d * Ma ) / ( 4*J + d*d * ( Ma + Mb )) * Mb * g



数字を代入すると、
Ta = 802.8*g
Tb = 798.6*g
fd = 1120.*g
になります。





ブレーキ機構を動作させた場合に、滑車がロープを引っ張る張力とロープが物体を引っ張る張力の関係がどうなるかをみます。
つまり、Ta, Tb と fd の関係です。



B側にブレーキ機構を挿入した場合に

fd > Tb

はどういう意味を持つのでしょうか。


ブレーキ作用点と物体B間のロープがたるむ形で運動することになると思いますがいかがかでしょう。


その場合、B側で滑車がロープを引っ張る張力Tbは
Tb = fd
になると思います。
したがって運動方程式は下の形になるのかと思いますがいかがですか?
初期状態は dot{xa} = 0.5 です。

xa = d/2 * θ
J * 2/d * ddot{xa} = d/2 * (Ta - fd)
Ma * g - Ta = Ma * ddot{xa}



A側にブレーキ機構を設置した場合も同様の考え方で式をたてることになると思います。

このサイトは、数学記号や図を利用できないから、表現には難儀しますよね。



> 1階、2階とはなんでしょうか

文中では、x を1階微分したものを dot{x} と表現していますが、わかりずらいですよね。




いや「1階微分」「2階微分」自体が判らない…、ということかしら。

困りました。私には、その段階から説明できる技量がありません。google さんや wiki さんに聞いてみてくださいな。




> 上の張力はA、Bとで差が少ないのではなんでしょうか？

正確には、判りません。
ちなみに、ロープが物体を引っ張る張力 Ta も Tb も上向き(滑車方向)です。

物体Aの落下は、

Ma*g - Ta = 1200 * g - 802.8*g = 397.2*g

の力でなされ、同様に物体 B のそれは、-198.6*g の力によってなされます。

その差は約 600*g だから、そんなには間違ってないのかなと感じますがいかがでしょう。


> 制動時の減速度又は走行時間はどのように展開すれば、導けるのでしょうか？


微分、から説明する必要があります。




すみません、私には文章でわかるように説明することができないようです。

「ロープは剛体じゃない」

という前提ならば、物体Aの加速度を負にするためには、そもそも、

fd > Ma*g

である必要があると思いますが、どうなんでしょう????

お礼

2012/02/03 14:39

回答有難うございます。

ロープは剛体ではないです。
ブレーキ作動時は上に引っ張られる物体B側のロープは緩みます。

頂いた回答が難し過ぎてよくわかりません。
私の力不足です。

いくつも質問があります。

「dot{*}は1階、ddot{*}は2階微分です。」
の1階、2階とはなんでしょうか？

「数字を代入すると、
　Ta = 802.8*g
　Tb = 798.6*g
　fd = 1120.*g
　になります。」
物体Aと物体Bとでは600?のアンバランスですが、
上の張力はA、Bとで差が少ないのではなんでしょうか？

制動時の減速度又は走行時間はどのように展開すれば、
導けるのでしょうか？

質問多くてすみません。

ご丁寧に回答していただき、有難うございます。

何を質問したらよいのかも、分からない状況です。
週末整理したいと思います。

質問者

再出です。
久々に、手計算してみましょう。
但し、摩擦係数は不確かなものなので、結果が5％誤差程度にはならないと考えます。

先ず、速度0.5m/sec時の動力は、
★ 1200kg×0.5m/sec÷102 ＝ 5.88kW(物体Ａ)
★ (2.0?･m^2)^2×(11.94rpm)^2÷(365×10^3×1)＝0.001562kW(滑車)
　 物体Ａに比べて、滑車の回転している動力は、非常に小さいので無視して計算する
★ 物体Ｂの止まり難さは、ロープが剛体でないので考慮に入れない
☆ 滑車の慣性モーメントＪ＝2.0?･m^2に関して、
　 滑車が鋼製であれば、2.0?･m^2＝125×π×7.866(g/cm^2)×Ｌm×(φ0.8m)^4にて、
　 Ｌm＝0.0015m＝1.5mmとなります。
　 (1200kgを吊るすので鋼と思ったのですが、何かが変だと感じる。)
　 (慣性モーメントＪ＝2.0?/m^2の記述で、単位の中の/は変換間違いで･ですよね。)
　 アルミや樹脂、木材使用でも、実際上では問題が多い。
☆ 滑車の回転数
　 滑車の径はφ0.8mなので、その円周長はφ0.8m×π＝2.512m。
　 速度が0.5m/secなので、2.512m÷0.5m/sec＝5.024secかかる。
　 因って、1秒間に1/5.024回転となり、1分間に11.94回転(11.94rpm)となります。

以上から、物体Ａの動力をブレーキ(制動摩擦)の動力で消費すると、停止したことが成り立つ
ため、以下の計算処理をする。
◆ 減速に寄与するブレーキ力は、◇印に示す計算から520kg。
　 以上から、ブレーキの動力は、520kg×0.5m/sec÷102＝2.54kWとなります。
　 そして、5.88kW÷2.54kWの計算から、2.31倍となり2.31秒間で動力を消費することになる。
　 ですが、この計算は速度0.5m/secの等速度運動の場合で、実際は速度0.5m/sec → 0m/sec
　 に変化するので、2.31sec×2＝4.62secが制動時間となります。
　 また、制動距離は、0.5m/sec×2.31sec＝1.16mとなります。(等速運動での計算処理では)
　 実際の0.5m/sec → 0m/secに変化する減速度計算では、平均速度(0.5m/sec/2)×4.62sec＝
　 1.16mとなります。(当然、同じ値になりますよね！)


◇ ブレーキ装置の摩擦係数 μ＝0.4とブレーキ装置の押付力 Ｐ＝2800?とで、
　 2800?×0.4＝1120?の力は常にロープに働いている。
◇ 物体Ａ質量1200?と物体Ｂ質量600?とで、(1200?－600?)＝600kgの力が、
　 物体Ａ側に常に働いている。
◇ 因って、ブレーキの力は1120?－600kg＝520kgしか減速に寄与しない。

以上です。
久しぶりの手計算だったので、計算間違いがないことを祈ります。

> 計算結果（制動距離＝1.16ｍ）が予想よりも非常に大きいです。過去に試験実績のある
> パラメータを入れて計算してみたところ制動距離＝0.75mとなりました。
パラメータの項目内容と数値、参考計算式等がありましたら紹介ください。
その内容で、問題点又は計算の相違点等が判るかもしれません。

また、
> 制動距離＝0.75mとなりました。（実際の測定は0.07ｍ程度でした）
> 10倍位の差が出てしましました。設計上の押付力が弱いのか？摩擦係数が小さいのか？
に関しては、情報不足です。
但し、云える事は、設計上の押付力が弱いか？、摩擦係数が大きいか？、等々で
ブレーキ性能が格段に良いのでしょう。

参考としての記述をします。
重量1200kgは自動車では小型の大衆車重量で、600kgとか520kgは軽自動車の重量です。
(強化ボディー化する前の数値になっている場合もありますが…、細かいことはご容赦。)
そして、自動車の制動距離計算は、
制動距離 ＝ 制動前の時速（Km/時）の２乗 ÷（２５４×摩擦係数）　　であり、
速度 0.5m/sec → 1.8Km/時から、(1.8Km/時)^2÷(254×0.4)＝0.032mとなり、
実際の測定値に近くなるので、ブレーキ性能の把握が問題と思います。

http://www5d.biglobe.ne.jp/Jusl/Keisanki/JTSL/TeisiSyasoku.html
(　↑　交通事故における車速と停止距離を考える　からです)

お礼

2012/02/03 11:22

計算までしていただいて有難うございました。

計算結果（制動距離＝1.16ｍ）が予想よりも非常に大きいです。
過去に試験実績のあるパラメータを入れて計算してみたところ
制動距離＝0.75mとなりました。（実際の測定は0.07ｍ程度でした）
10倍位の差が出てしましました。
設計上の押付力が弱いのか？摩擦係数が小さいのか？

何かを見直さないと先に進めそうにないです。

質問者

> 以上の条件で減速度又は走行距離を求めることは可能でしょうか？
条件内での計算は可能です。

さて、先ず、機械設計又は便覧にて、力と運動や仕事・エネルギー・動力の内容を確認する
ことをお勧めします。
そして、(サーボ)モータの選定ソフトを使用したり、ブレーキ計算が記載されている
教本を使用したりして、求めてください。

ブレーキ装置の摩擦係数 μ＝0.4とブレーキ装置の押付力 Ｐ＝2800?とで、
2800?×0.4＝1120?の力は常にロープに働いている。
物体Ａ質量1200?と物体Ｂ質量600?とで、(1200?－600?)＝600kgの力が、
物体Ａ側に常に働いている。
因って、ブレーキの力は1120?－600kg＝520kgしか減速に寄与しない。

また、当然ですが速度(ｖ)0.5ｍ/ｓの方向は、物体Ａが落下する方向ですよね。
絶対にその記述はするべきでしょう。
物体Ａ質量1200?と物体Ｂ質量600?が速度0.5ｍ/ｓで移動している条件と、
物体Ａ質量1200?と物体Ｂ質量600?と滑車の慣性モーメント Ｊ＝2.0?/ｍ＾２が速度0.5ｍ/ｓ
で移動している条件との計算をする。
滑車径 ｄ＝0.8ｍで、その周速度が0.5ｍ/ｓなら、滑車の慣性モーメント Ｊ＝2.0?/ｍ＾２
が解れば動力計算は可能。
物体Ａ質量1200?と物体Ｂ質量600?が速度0.5ｍ/ｓで移動しているが解れば動力計算は可能。

以上の内容が理解できていなければ、問題は解けないでしょう。
なんかの問題集か、試験問題みたいですけど。

(サーボ)モータの選定ソフトを使用したりは、昇降運動でプーリーを使用した例題計算です。
動力**kWのモータを使用した時、始動～0.5ｍ/ｓまでの加速時間を求めるのとほぼ同じです。

お礼

2012/02/02 10:02

アドバイス有難うございました。

回答を頂けると助かります。
それから本文中に動力計算のアドバイスも頂いていますが、
減速度と走行時間に関連するのでしょうか？

また落下する方向は物体Ａです。要するにアンバランス側（負荷側）に
動力もなにも使用せずに自由落下をしてるイメージで速度0.5ｍ/ｓで
ブレーキが作動する状態です。

ちなみに問題集でも試験問題でもないです。
この条件で試験をして計算値の減速時間、走行時間等と実際の試験結果が
同じ（5％誤差程度）になるのかを確認する計画です。

質問者

>ブレーキ作動（制動開始）から停止するまでの減速度又は走行時間の求め方
を教えてください。
ブレーキ力 F=μPによる減速加速度aは a＝Fg/(MA+MB)　です。
初速をｖとすればΔｔ秒後の速度は(ｖ-aΔｔ)となります。
慣性モーメントによる発生トルクは　T＝2J・v/（d・Δｔ）
です。力学の基本事項で解決できますので、下記参照ください。

http://www.washimo-web.jp/Technology/Statics/No19/Statics19.htm

一般に低速度では慣性モーメントの影響は考えなくてよいですが、高速運転
する場合は質量ｍ半径ｒに対し、慣性モーメントＪ＝ｍｒ＾2を考慮する必要
があります。たとえば、円筒状のディスクの場合、ディスク質量Ｍ、最外径Ｒ
とすれば、Ｊ＝ＭＲ＾2/2で与えられます。Ｊによる加算力Ｆは
Ｆ＝Ｊ(ｄω/ｄｔ）であり（ｄω/ｄｔは角加速度）、ブレーキ設計では最大
値を採用することになります。

お礼

2012/02/02 09:41

アドバイス有難うございます。
教えて頂いたＨＰを確認してみます。
慣性モーメントによる発生トルクをどのように取り扱ってよいのか
わかりません。
減速度は求める上で慣性モーメントによる発生トルクが影響すると
思いますが、a=Fg/(MA+MB)の式と関連付けはどうのように考えれば、
よいのでしょうか？
それからa=Fg/(MA+MB)の「+」でよいのでしょうか？「(MA-MB)」マイナスでしょうか？
宜しくお願い致します。

再度アドバイス有難うございます。
アドバイスを頂いた式で計算してみました。

F＝2800?×0.4＝1120?
α＝1120?×9.8m/s^2÷（1200?+600?）＝6.098m/s^2
制動距離　S＝ｖ/（2×α）＝0.5m/s÷（2×6.098m/s^2）＝0.04m（4cm）

※上の式の（MA+MB)でよいのでしょうか？
　負荷側のみの質量ではないのでしょうか？
※負荷側のみで計算するとα＝18.29となり想定をはるかに
　超えてしまいます。

となりました。
回答（3）さんと比べるとかなり差があります。
僕のような素人では、何が正しいのか、分かりません。

質問者