エフェクターを繋げても音質劣化しない小型アンプを教えてください

音質劣化がどこで起きているか確認する必要があります。

まず、アンプに付属しているヘッドフォン端子にヘッドフォンをつないで聴いてみる。結果、ヘッドフォンで問題なければ、エフェクターには問題がなく、アンプのスピーカーがプアなのだとわかります。

ヘッドフォンでも同じプアな音なら、エフェクターの出力ボリュームを少し絞ってみる。これで良くならないなら、エフェクターが悪い。有名ブランドのＢＯＳＳのエフェクターがプアだとも思えませんが。あとは、アンプの相性が悪い可能性も。ということになります。

などなど。

ご質問の内容とはちょっと違ってしまうのですが、歪ませて薄っぺらく聴こえてしまうのは、エフェクターにも原因はあるように思います。

ベース用のアンプは、ギターアンプと比べてかなり入念な作りこみが必要なので、たとえ小型アンプでも良い音を出そうとすると、かなりの値段になってしまいます。

私は現在のラインナップには詳しく無いのですが、強いて言うならGK（ギャリエン・クリューガー）やEV（エレクトロ・ボイス）、アコースティックのコンボ等は小さくても良い音がしていました。

が、

値段も半端無く高いです。

なのでどちらかと言えば、アンプを今のまま、エフェクターの方を買い換えた方が建設的ではないかと思います。

Bossのベース用オーヴァードライヴは、私が現役の時代にデビューしました。（機種は違いますが）
印象としては、どうしても高音域が安っぽい歪みになってしまっていたのを覚えています。
ギター用エフェクターとしてはBossは優秀なのですが、ベース用としては、私はあまり良い印象が無かった、と言うのが本音です。

なので楽器屋に行き、歪み系のエフェクターを片っ端から試奏させてもらう事をお薦めしたいですね。

歪み系と言えども、最近は様々なスタイルのものが有ります。
本当にギンギン歪ませるだけの物から、歪み系の筈なのにクリーンでも使えるブースターまで。

そんな中から、特に中音域に粘りがあり、低音域を潰してしまわない物を選べば、安っぽいベースアンプでも結構イカした歪み方をしてくれる筈です。

また、この場合必ずしも「ベース用」の物でも無くても構いません。
私の時代はベース用オーヴァードライヴ等無かったので、ギター用を流用していました。
でも音ヤセするどころか、むしろギターの音を掻き消してしまう位の破壊力がありましたよ（笑）。

因みに私の使っていたのはRATIIです。

まあ勿論アンプが欲しいのならアンプを買っても良いのですが、汎用性と値段を考えたらエフェクターの方を買い換えるのもありかな、と思いますが。

やっぱりベースの場合は、どうしても大型スピーカをある程度のパワーで鳴らして、はじめて出せる音というのがありますから、小型アンプで綺麗な低域歪みを出すのは大変難しいです。
小型アンプの小口径低出力のアンプでは、欲しい低域の歪み感よりも高域の歪み感の方が遙かに大きく出てしまうのと、スピーカの振幅等も小さいですから「ゆったりした低域」が出ないですね。

これが質問者の方の条件に合うかどうかはわかりませんが、この機種なんかは、大きさの割にはゆったり感のある音が出せるので、とりあえず私からのお勧めとしておきます。（これより小型のでは、私としてはお勧めしやすい機種が思い当たらないです）
ただ、他にもいろいろな機種がありますし、ほかの方からも良いお勧めがあるかもと思います。とりあえずご参考ということで。

http://www.roland.co.jp/products/jp/CUBE-30_BASS/index.html