キーボードとシンセサイザーの違いとは？

シンセサイザーは定義的には音色を合成する装置で間違いないんですが、少々イメージしづらいですよね。
それに現在のあり方は定義とはちょっとずれてきていますので、ちょっと長くなりますが説明させていただきます。

音色を合成とは具体的にどういうことかというと、

波形を選ぶ（ノコギリ波、サイン波など）
↓
フィルターで加工（高域をカットなど）

大まかにはこのようにして音色を作っていました。
ちなみに複数の波形を重ねることができる機種もあり、さまざまな音色を作ることが可能でした。
しかしどんな音色でも作ることができるわけではなく、ピアノの音を作ってもそれは所詮”ピアノっぽい音”でしかなく、完全シミュレートは不可能でした。

と、ここで「あれ、シンセサイザーってピアノの音出せるはずじゃ…？」と思ったと思います。
そうなんです。現在では上記の波形に実際の楽器の音を録音したものを選べる機種がシンセサイザーとして一般的になっています。
なので定義では音色を合成する装置なのに、初期搭載されている波形の充実により「音色を合成して作り出す」というニュアンスが薄れてしまい、それゆえに定義と実際のあり方にズレが生じ、シンセサイザーというものを理解しづらくさせていました。

前書きが長くなりましたが、質問の本題に戻ります。
電子キーボードとシンセサイザーの違いは定義的にいえば「音色を合成できるのがシンセサイザー、できないものが電子キーボード」です。
しかしもう少し現実的な説明をすると「多機能高性能で本格的な音楽製作・鍵盤演奏に特化したキーボード」であり、フィルターが付いており
、DTMの音源（後記）として使用できればシンセサイザーであるといえます。

またA No.1の方がおっしゃるようにシンセサイザーは鍵盤が付いているものが広く認識されているためキーボードの一種と思われがちですが、実際は音を作る音源部のことをシンセサイザーといいます。
なぜ鍵盤なのかというと音を出すにあたってのコントローラーに最も適していたのが鍵盤だからというだけの話ですね。
ですから音楽製作用に”鍵盤のないシンセサイザー”というものも実在します（例えばコレhttp://www.roland.co.jp/products/jp/Fantom-XR/index.html）。

できることは、鍵盤のあるものは鍵盤演奏です。
ただ演奏するだけではなく、あらかじめセットを組んでおけばスイッチひとつで音色を変えることができる（ピアノ→オルガンなど）、フィルターで音色を変化させながら演奏するなど、上げればきりがありませんが、いずれもただの電子キーボードでは不可能なものです。
他にはDTMの音源としての使用ですね。
簡単にいえばPCで「この音をこういうタイミング、長さで出せ！」という命令を組み、それをシンセサイザーに送って自動演奏させるいわゆる打ち込みという行為です。
現在プロの楽曲の中でも打ち込みは多用されており、ギター以外の楽器は全部打ち込みだったなんてこともザラです（クレジットに演奏者の名前がないパートがあるなどはドラムやベースであっても打ち込み）。
そう考えると音楽業界へのシンセサイザーの貢献は計り知れないものがあります。

あと最後になりますが、現在シンセサイザーと呼ばれる装置にも2種類あります。
ひとつは最初に紹介した音色を作り出すことに特化したアナログシンセサイザーです。
後記する実際の楽器の音色を波形に持ったデジタルシンセサイザーに圧されて一時期消えかけますが、最近では音色を作り出すということに再び注目が集まり、2000年ごろからデジタルの力でアナログシンセサイザーを再現したヴァーチャルアナログシンセサイザー（またはデジタルアナログシンセ）が登場しています。
アナログシンセといっても必ずしもアナログとは限らず、現在では音色を作り出すことに特化したものを便宜上アナログシンセサイザーと呼んでいます。

もう一方はデジタルシンセサイザーですね。
こちらはシンセサイザーというより多機能キーボードという認識をしたほうがわかりやすいかもしれません。
実際の楽器の音色を録音したものを波形に選ぶことが出来ます。

と、かつての自分と同じ疑問を持った方を拝見したのでつい長くなってしまいましたが、参考になれば幸いです。