かみずまりからカバーが上がったままになってしまった。

紙詰まり解消のためにカバーを開けたりしたのだが、カバーを正しく戻せないんだな。

開けたもの全部を正しく元に戻していくしかない。

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。
おそらくですが、ADF/本体/インクのカバー等、開閉しているか判定しているセンサー部分に接触していないのかもしれませんね。センサーを感知させるための突起部等や干渉部が欠けていたり、フックの戻りが悪くなったりしていませんか。今一度お確かめください。
プリンター本体での操作が可能であるならば初期化してみたり、ファームウェア更新をしてみたり、プリンタードライバーの入れ直し（アンインストールツールを使用する）をしても良いかもしれませんね。
無視して印刷ができませんので(機種によっては無視して印刷できるものもあります)、ご自身で解決できないのであれば残念ですが修理となります。
また、他ページの引用ですが、以下思い当たる節はありませんでしょうか？
【「予防法ですが、印刷終了後液晶表示がジョブを完全に終了する前にトレイを開くと起こることがわかったので、印刷が終わり、10秒ほど待ってディスプレイが通常表示に戻ってから用紙の交換などを行うこと」】


「カバーが開いています」と表示されました。
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https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj730dn&faqid=faq00012169_008

【インクジェット プリンター】「ディスクレバーが開いています」または「ディスクガイドが開いています」と表示されました
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9345

ブラザーMFC-J4440Nで紙詰まりが発生した場合は以下の手順で対処してください↓
https://support.brother.co.jp/j/b/manuallist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4440n&type2=1005

電源を切る：紙詰まりが発生しているため、電源を切り、印刷機から電源コードを抜きます。
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カバーを開く：紙が詰まった箇所に応じて、インクトレイやADF（自動原稿送り装置）のカバーを開きます。カバーを開く際には、説明書に従い、カバーを引っ張る方向に注意してください。
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紙を取り出す：詰まった紙を、両手で丁寧に引っ張り出します。引っ張りすぎると、紙が破れたり、内部に紙くずが残ったりすることがありますので、注意してください。
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印刷機を再起動する：紙詰まりが解消されたら、印刷機を再起動してください。この際には、電源コードを差し込んで、電源を入れます。
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印刷テスト：印刷機が正常に動作するかどうかを確認するため、印刷テストを行ってください。

上記の手順で紙詰まりを解消できない場合、または不安な場合は、ブラザーのサポートセンターにお問い合わせいただくことをお勧めします。

こんにちは😊！MFC-J4440Nのカバーが上がったままになってしまったということで相談されているようですね！ご質問ありがとうございます！カバーが上がったままであれば、一度電源を切って、カバーを閉じてから再度電源を入れることで改善される場合があります。試されてみてはいかがでしょうか？
また、無線LAN接続で使用されているとのことですが、MFC-J4440Nには有線LAN接続用のポートがあるため、有線LAN接続に変更してみることで、接続が安定する可能性があります。
関連するソフトやアプリについての記載はないようですが、使用されているパソコンやスマートフォンのOSがウィンドウズ10であることが分かりました。また、電話回線の種類はひかり回線とのことです。
以上、参考になれば幸いです！頑張って解決してくださいね！👍