スマホ→DCP-J572N プリンタ選択できない

それぞれの機器がWi-Fiに接続されていてもスマホ〜プリンター間が正常に接続できていなければ意味がありません。
プリンターの電源を入れられるまでにどのくらいの期間が空いていたのか不明ですが、IPアドレスが変わった可能性は考えられないでしょうか？
その場合、アプリを入れ直して最初から登録しなおすのが手っ取り早い方法かもしれませんね。
スマホからハガキ印刷の場合はハガキ印刷アプリを使用することになります。

・無線LANルーターの再起動
・スマホ/タブレットの再起動
・プリンターの再起動
・スマホ/タブレットのアップデート
・アプリのアップデート
・スマホ/タブレット＆プリンターのネットワークリセットをして最初から接続をやり直してみる
・プリンター本体の操作でネットワーク初期化＆スマホ/タブレットも再登録してみる

他に、ハガキ印刷されるのでしたらハガキ印刷に対応したアプリを使用されておりますでしょうか？
https://online.brother.co.jp/ot/dl/nenga/apps/


改善すると良いですね。

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
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https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/?__CAMCID=GCepbmkAFw-183&__CAMSID=DoFpVbidtFe-33&__CAMVID=wotdSJbGgd&_c_d=1&_ct=1561622308870

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末とブラザー製品を接続する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13087/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
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http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
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https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj572n
こちらですね。

【インクジェット プリンター】操作パネルから手動設定で無線LANに接続する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13203
手動で無線LANルーターとプリンタの接続をやり直してAirPrintの設定を一旦削除して再度設定からやり直して見るとか。

ルーター経由で複合機とiOS端末（iPhone、iPadなど）を接続する
https://www.youtube.com/watch?v=9SuYLZZoHrM