インクが検知されない

>とりあえず白黒のみの運用は出来ないのでしょうか？
と言うのも難しいでしょうね。

【インクジェット プリンター】モノクロ印刷をしたいのにカラーインクの交換メッセージが表示されます。カラーインクは必要ですか？
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9433
と言うのはあります。

https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj5820dn/feature/feature1/index.aspx
を見る限りですが

万が一のインク切れ時も安心　クロだけ印刷
印刷時にカラーインクが切れても、黒インクが残っていれば、約30日間はモノクロ印刷が可能です。

※用紙の設定によっては「クロだけ印刷」ができない場合があります。
※電源コードを抜いたり、空になったインクカートリッジを取り外したりした場合は、新しいインクカートリッジを取り付けるまで印刷できません。

とあるので一応黒だけ印刷は可能な機種ではありますね。

1.インクカートリッジをすべて取り外す
2.プリンターの電源をオフしてコンセントも抜く
3.しばらく時間（5～10分）を置いたのち、電源を入れ、最初にブラックカートリッジをゆっくり、できるだけ平行に入れる
4.ブラック以外のインクをゆっくり、できるだけ平行に入れる（順不同）
5.プリンターがインクを認識

ICチップが搭載されたインクカートリッジでしたらこうすることによってプリンターの認識機能がリセットされ、ICチップが1つずつプリンターに読み込まれていくのでインクが認識される可能性が高くなります。これで解決しない場合は、ICチップの端子部分やプリンター側の接点部分を拭き取り、再度挑戦。それでも解決しないのであれば、インクのICチップ自体、もしくはプリンターのICチップ読み込み部分に不具合がある可能性があるので、カートリッジの交換もしくは修理ですかね…。
ICチップのないフロートゲージタイプですとゲージが固着していたり、そもそもインク量が少ない状態でインクカートリッジを取り外してしまうと検知できない状態になったりしますのでご注意ください。
尚、復旧した（していない）にかかわらず、パソコン側で交換してくださいの表示が出た場合はステータスモニターが誤作動を起こしている可能性がありますので、プリンタードライバーを入れ直すと改善するかもしれません。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5820dn
こちらですね。

何度かインクカートリッジを取り付け直してみたりインクカートリッジにICチップが搭載された端子がありますがそちらが接するプリンタ側の端子を綿棒など掃除して見るとかでしょうか。

A3カラー/ビジネスインクジェット複合機の修理サービス
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx
どうしても解決しない場合は修理に出すことになるかと。ただ費用を考えるとプリンタ自体の買い替えも視野に入るかも知れません。