同じ機能の製品番号は？

そういうことでしたか。
同じDCP-J940Nの後継機に該当するものはDCP-J926Nになりますね。
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/dcpj926n/index.aspx

使用頻度が高く、CDレーベル印刷をしないのであれば、DCP-J4140Nをおすすめします。インク代が安く済みますので印刷枚数が多いのであれば後々こちらの方が良いのかなと思いますね。
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/dcpj4140n/index.aspx

DCP-J940Nの後継機種であれば、DCP-J926Nですね。
製品情報
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/dcpj926n/index.aspx
価格情報
https://kakaku.com/item/J0000036257/

以上、ご参考まで。

同じ機能の製品番号は？
製品番号は製品ごとに異なっていると思いますが、機能と製品番号に
関連性はないと思います。
もしかして「同じ機能を持つ別な機種は？」とのご質問ですか？
同じ機能とは具体的にはどういった機能のことを言われているのですか？

ヘッドクリーニングを何回かされても改善しないのでしたら5時間程時間を空け、再度チェックしてみてはいかがでしょうか？
インク吐出経路に損傷や亀裂が生じインク漏れが発生することもまれにあるようです。
その場合は修理しか方法がありません。

まず、印刷品質チェックシートの印刷結果はどのようになっていたのでしょうか？
また、純正インクをご使用でしょうか？
どのくらいの期間、どういう環境にさらされ、どのくらいの量をどのくらいのインターバルで印刷されていたのかわかりかねますが、
おそらくインクヘッドが乾燥もしくはインク残渣の堆積物による目詰まりを起こしているのではないでしょうか。
過去に非純正インクをご使用されたことがありましたら、インク残渣堆積物が原因となることが多いです。
もしくはインクを入れ替えたのでしたらその際に気泡が生じ、気泡が消える（落ち着く）まで印字できない状態になっている可能性があります。
インクカートリッジを変えたから、ヘッドクリーニングして良くなったからといってすぐ改善することはほぼありません。
また1日にヘッドクリーニングを何十回してもさほど効果はありません。
時間を置いてから改善しているか状況を見ながら
毎日、ヘッドクリーニングを4回その後電源プラグを抜き1日放置
これを繰り返して良くなれば回復の可能性がありますが…
洗浄カートリッジを使用してみるという意見もありますが、洗浄カートリッジは純正品では存在しません。故障の原因となりますのであまりおすすめできません。
最終手段でのご使用を検討されると良いかもしれません。
プリンターの初期化、ファームウェアの更新やプリンタードライバーを入れ直して改善したというケースもありますのでご参考までに。
インクカートリッジを振ってみて改善したという都市伝説もあったり…？
改善の見込みがなければ修理となりますが、補修用性能部品の保有期間を既に過ぎている製品であれば、
修理をすることができませんので、残念ですが買い替えとなります。
以下、参照願います。

【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644/