カラーインク切れでモノクロ印刷できない

通常、カラーインクを使用しなくても、インクが切れた時点で複合機の機能が使用できなくなってしまいます。
インクの交換をしてみてはいかがでしょうか？

一定期間モノクロ印刷可能な機種も存在します。
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2019/01/post-1fb4.html
こちらですね。

【モノクロ片面印刷のみ可能】と表示されているときは、一定期間に限りブラックインクでモノクロ印刷を続けることができます。この状態で印刷をする場合、次のことにご注意ください。
・パソコンから印刷をする場合は、印刷設定時、用紙種類を[普通紙]、カラーを[モノクロ]に設定する必要があります。
・コピーの場合は用紙タイプが[普通紙]に、ファクス（MFCモデルのみ）の場合は用紙タイプが[普通紙]または[インクジェット紙]に設定されている必要があります。

残念ですが、裏設定や裏技みないなものはございません。
ご使用状況次第では、
モノクロ専用プリンターを購入し、
カラー印刷の場合はWeb印刷でコンビニ印刷することが経済的で効率が良い方法かもしれませんね。

【インクジェット プリンター】「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9313/

カラーインクが切れてもできる、モノクロ印刷が出来るプリンターです。
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2019/01/post-1fb4.html

「モノクロ印刷のみ可能です」と表示され ていたなら
メッセージが表示されている間（約1ヶ月間）は、ブラックインクでのモノクロ印刷が可能なようです。

「モノクロ印刷を行なうための条件　」があります。
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9315

MFC-J6583CDW　オンラインユーザーガイド　
エラーメッセージとメンテナンスメッセージ　に「モノクロ印刷のみ可能です」があります。
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_mfc6583cdwa_jpn/doc/manual/index.html#GUID-A8BB6CBF-B72C-4989-B498-446A5A1C9EF5_370#KEY=%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%AF%E3%83%AD%E5%8D%B0%E5%88%B7%E3%81%AE%E3%81%BF%E5%8F%AF%E8%83%BD%E3%81%A7%E3%81%99

全てのインクが入っていないとモノクロ印刷もできない機種なのでは？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw
こちらですね。

【インクジェット プリンター】「インクを検知できません」と表示されました
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13008
あたりを参考に何度かイエローのインクカートリッジを取り付け直してみるとか。また新しいイエローのインクカートリッジを買ってきて取り付け直してみるとか。
インクカートリッジ自体の不良であれば新しいインクカートリッジに交換すれば改善する可能性はあります。

A3カラー/ビジネスインクジェット複合機の修理サービス
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx
プリンタ本体に問題があってインクカートリッジを認識出来ないような場合は修理が必要かも知れません。