MFC-J5910CDWインクを交換したのに十分なインクがないと表示してしまう

まず、以下のページをご確認ください。

【インクジェット プリンター】「インクを検知できません」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13008

【インクジェット プリンター】「インク交換」と表示されました｜ブラザー
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13004

1.インクカートリッジをすべて取り外す
2.プリンターの電源をオフしてコンセントも抜く
3.しばらく時間（5〜10分）を置いたのち、電源を入れ、最初にブラックカートリッジをゆっくり、できるだけ平行に入れる
4.ブラック以外のインクをゆっくり、できるだけ平行に入れる（順不同）
5.プリンターがインクを認識

ICチップが搭載されたインクカートリッジでしたらこうすることによってプリンターの認識機能がリセットされ、ICチップが1つずつプリンターに読み込まれていくのでインクが認識される可能性が高くなります。これで解決しない場合は、ICチップの端子部分やプリンター側の接点部分を拭き取り、再度挑戦。それでも解決しないのであれば、インクのICチップ自体、もしくはプリンター本体のICチップ読み込み部分に不具合がある可能性があるので、カートリッジの交換もしくは修理ですかね…。
ICチップのないフロートゲージタイプですとゲージが固着していたり、そもそもインク量が少ない状態でインクカートリッジを取り外してしまうと検知できない状態になったりしますのでご注意ください。
（※ゲージ固着の場合は振ると改善したり？）
尚、復旧した（していない）にかかわらず、パソコン側で交換してくださいの表示が出た場合はステータスモニターが誤作動を起こしている可能性がありますので、プリンタードライバーを入れ直すと改善するかもしれません。
機種によっては互換性インクを取り付けると故障したり検知しない場合があるようです。
新品のインクを交換しても改善しないのであれば、そのインクが不良品ということも考えられますので、購入店舗にご相談されることをおすすめします。

こちらの製品ですね。
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5910cdw
2011年発売の製品ですから、発売後10年以上が経過している製品となります。
非純正インクを使用されておられるのであれば、インクカートリッジの外れを引いた、という可能性もありますが、純正カートリッジをお使いなのであれば、おそらく本体側の「インク残量を検知する部分」が経年劣化により読み取り不良を起こしているものと思われます。
インクカートリッジの底部に残量検知を行う金属部分があります。本体側で、そこと接触する部分を「アルコールを少量含ませた綿棒」等で拭いて状況が改善すれば良いですが、それでもNGであれば本体側の故障となります。
10年以上前に発売された製品で、Brotherでの修理対応も2018年で終了していますから、残念ながら「寿命」ということで買い替えを検討される以外の解決策はありません。

以上、ご参考まで。